tan 1/z

15.06.2007, 23:21	Mamamia	Auf diesen Beitrag antworten »
tan 1/z moin, moin. brauche mal eure hilfe! f(z) = tan 1/z, was für eine singularität findet man im punkt c = 2/pi ? eine wesentliche, eine hebbare oder einen pol? wie zeige ich das? sorry, das ich so spät poste, aber hatte mich so lange rumprobiert.
16.06.2007, 02:52	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Um alle darüber hinwegzutäuschen, das ich hier schon wieder Unsinn verzapft hatte, hier eine ganz tolle Antwort: Es ist eine isolierte Singularität Na gut, ein paar Sachen noch, wie man den Typ herausbekommen könnte. Im Prinzip gibts erstmal 2 Möglichkeiten. Entweder verschaffst du dir irgendwie die Laurentreihenentwicklung um den Punkt 2/Pi. Dann kannst du anhand der Koeffizienten des Hauptteils ableiten, um was es sich bei der Singularität handelt. Daneben gibt es noch andere Charakterisierungen. Beispielsweise gilt: * Wenn die Funktion in einer (punktierten) Umgebung von 2/Pi beschränkt ist, dann ist die Singularität hebbar (=Riemannscher Hebbarkeitssatz) * Wenn es ein n gibt so daß (x-x_o)^nf(x) in einer (punktierten) Umgebung der Singularität beschränkt ist, so handelt es sich um einen Pol. Wenn der Funktionswert bei jeder beliebigen Annäherung an die Singularität betragsmäßig gegen unendlich geht, ist es auch ein Pol. * Wenn es kein Pol und keine hebbare Singularität ist, aber trotzdem eine isolierte, so muß es eine wesentliche sein (glaub ich), weil mehr Fälle gibt es nicht. * Liegt in jeder beliebig kleinen Umgebung der Singularität das Bild von f dicht in IC, so ist die Singularität wesentlich. Also im Prinzip wäre es erstmal schon schön, wenn man schon wüßte was davon man nun eigentlich zeigen kann. Ich würde spontan auf Polstelle tippen, aber bin mir absolut nicht sicher.
16.06.2007, 10:34	Mamamia	Auf diesen Beitrag antworten »
hi, gut das war jetzt alles ein wenig allgemein gehalten. hatte das die ganze zeit mit der laurententwicklung probiert. tangens-entwicklung müsste ja so wie im reellen sein (hoffe ich mal), aber die ist ja um 0. weiss nicht so recht wie ich daraus eine laurenentwicklung um den genannten pukt bastele. vll fallen jemanden auch folgen ein, was die eine oder andere singularität ausschließt, wäre mir ja schon ein wenig geholfen.
16.06.2007, 11:50	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Edit: Hier stand schon wieder völliger Unsinn, den ich mal lieber gelöscht habe. Ich bin mir aber mittlerweile relativ sicher, daß es sich um einen Pol erster Ordnung handelt. Eventuell kannst du mal versuchen zu zeigen, daß (z-2/Pi)tan(1/z) in einer Umgebung von 2/Pi beschränkt ist, oder alternativ wie oben angegeben, daß tan(1/z) bei jeder Annäherung an 2/Pi betragsmäßig gegen unendlich geht. Im reellen sieht das zumindest (x-2/Pi)tan(1/x) shconmal sehr gut aus:
16.06.2007, 17:14	Mamamia	Auf diesen Beitrag antworten »
vll geht das so: tan 1/z = (sin 1/z) / (cos 1/z) betrachte : cos 1/z, ist holomorph in einem kleinen offnen kreis um 2/Pi (hauptsache 0 ist nicht drin) => taylorreihe entwickeln im entwicklungspkt. 2/Pi. man kriegt also eine potenzreihe, weiter noch, sie fängt erst mit dem glied a_1 an. => einfache nullstelle. inventieren bringt dann eine funktion mit einem einfachen pol ( = 1 / (cos 1/z)) da sin 1/z holomorph ist in unserem kreis um 2/pi , kann ich unser f(z) = tan 1/z als produkt von (z-2/pi)^(-1) * (sin 1/z * reihe von cos 1/z ab koeff. k=0). Nuin ist (sin 1/z * reihe von cos 1/z ab koeff. k=0) holomorph auf unserem kreis mit ausnahme von c= 2/pi. in c hat (sin 1/z * reihe von cos 1/z ab koeff. k=0) einen funktionswert ungleich 0. damit haben wir insgesamt einen pol, der einfach ist bin mir leider nicht sicher ob das richtig ist.
29.06.2007, 10:59	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, nachdem ich nun selber ein kleines bißchen mehr von dem Thema verstehe hier mal noch abschließend die Lösung: Sei z_0=2/Pi. sin(1/z) ist holomorph in einer Umgebung von z_0 und sin(1/z_0) ist ungleich 0. cos(1/z) hat in z_0 eine Nullstelle. Diese Nullstelle ist einfach, da die Ableitung $\begin{eqnarray} -\frac{sin(\frac{1}{z})}{z^2} \end{eqnarray}$ in z_0 (und damit einer Umgebung) ungleich 0 ist. Ich kann also schreiben: $\begin{eqnarray} cos(\frac{1}{z})=\frac{1}{z-z_0}g(z) \end{eqnarray}$ mit einer in z_0 holomorphen Funktion g. Diese ist in z_0 (und damit einer Umgebung) ungleich 0. Damit ist $\begin{eqnarray} tan(\frac{1}{z})=\frac{1}{z-z_0}\frac{sin(\frac{1}{z})}{g(z)} \end{eqnarray}$ , wobei der hintere Faktor holomorph in z_0 ist, also in eine Potenzreihe um z_0 entwickelt werden kann. Damit handelt es sich bei der Singularität um einen Pol 1.Ordnung.
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