Textaufgabe Differenzengleichung |
| 20.01.2005, 09:51 | babe_85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Textaufgabe Differenzengleichung ich hab hier dieses Textbsp. und kenne mich wirklich überhaupt nicht aus! kann mir vielleicht jemand erklären wie das funktioniert und mit mir ausrechnen. ich brauche es nämlich schon heute abend in der fördergruppe. Die Rauchgewohnheiten eines Rauchers haben zur Folge, dass seinem Blut eine Tagesdosis von 0,02 mg Nikotin zugeführt wird. 1% des Nikotins wird innerhalb von 24 Stunden abgebaut. a) Wie kann der Nikotingehalt im Blut berechnet werden, wenn von einem Startwert von x_0 = 0 mg ausgegangen wird? ps: wir haben z.b. lösung per iteration gelernt, womit ich mich aber auch nicht wirklich auskenne:-( HELP! |
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| 20.01.2005, 10:57 | Deakandy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Textaufgabe Differenzengleichung Ein Thema reicht das andere wurde dann gelöscht also suche nicht danach... nenene |
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| 20.01.2005, 11:09 | babe_85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sorry....dachte nur, dass es dann mehrere leute lesen.... kennt sich nun jemand damit aus?? |
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| 20.01.2005, 11:13 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wenn sich 0 mg (also nix) am anfang im blut befinden, so wird durch abbauen nichts dazukommen. also wird es immer 0 bleiben. wähle mal lieber einen besseren startwert... dann kann man dir vielleicht weiterhelfen. mfg jochen |
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| 20.01.2005, 11:28 | babe_85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hab ich mir gedacht, aber kann man das mit einer rechnung beweisen, oder so? b) Wie verhält sich der Nikotingehalt im Blut über längere Zeit? ..das wäre die nächste frage, aber ich weis nicht was ich da berechnen muss? |
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| 20.01.2005, 11:34 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich hab ja gar nicht gut gelesen 
das muss man natürlich berechnen. ich werde hier gleich mal noch einen längeren edit anhängen..... mfg jochen edit: okay jetzt: aaaaalso: du hast als zeiteinheit ganze tage (bissl ungenau, aber naja), genauso läuft meine rechnung gerade darauf hinaus, dass nur das bis zum vorherigen tag vorhandene nikotin abgebaut wird, natürlich wird das neu hinzugekommene auch schon gleich mit abgebaut (wenn du morgens rauchst, baust du am abend schoin ab), aber das ist halt rechenungenauigkeit... also willst du immer N(t) berechnen, N(t) sei der Nikotingehalt im Blut nach t Tagen (in mg).... (t aus {0,1,2,...}) erst mal ein paar werte (mit belibigem N(0): N(0)=N(0) N(1)=0,99N(0) + 0,02 (klar, 0,02 kommen dazu, vom vorherigen werden 1% abgebaut, d.h. es verbleiben 99%=0,99) N(2)=0,99*N(1)+0,02 (=0,99(0,99*N(0)+0,02)+0,02=0,99²*N(0)+0,99*0,02+0,02) N(3)=0,99*N(2)+0,02 (=0,99(0,99²*N(0)+0,99*0,02+0,02)+0,02=0,99³*N(0)+0,99²*0,02+0,99*0,02+0,02 ) also rekursive darstellung: N(t+1)=0,99*N(t)+0,02 soll das noch explizit angegeben werden? |
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| 20.01.2005, 11:37 | babe_85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
kann ich a) z.b. so darstellen: ??????? |
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| 20.01.2005, 12:06 | babe_85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
aha...verstehe, dass heisst, wenn ich jetzt als Startwert 0 einsetze: ergibt also: |
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| 20.01.2005, 12:10 | babe_85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und bei b) muss ich genau das selbe machen...wie du´s gezeigt hast halt mit N_2, N_3, etc. und dann einen trend feststellen, oder? dann ist noch c) wird der gesundheitsschädliche wert von 1 mg je überschritten? soll ich da einfach so lange rechnen, bis irgendwann ein wert über 1 rauskommt?? oder geht das auch einfacher?? |
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| 20.01.2005, 12:22 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
N(1)=0,02 ja das ist richtig der trend ist klar: je mehr nikotin bereits im blut ist, desto mehr wird auch abgebaut werden, d.h. desto weniger kommt im endefekt hinzu. das ganze wird sich also assymptotisch von unten einem wert nähern. den musst du jetzt bestimmen. [tip: berechne mal, für welchen nikotinanfangswert N(0) stets genauso viel abgebaut wird wie dazukommt. es wird 0,01*N(0) abgebaut und es kommen fest 0,02 hinzu) mfg jochen |
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| 20.01.2005, 12:28 | babe_85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
soweit klar... aber deinen tipp verstehe ich nicht ganz....;-) |
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| 20.01.2005, 12:36 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
naja, du hast ja rekursiv: N(t+1)=0,99*N(t)+0,02 das bedeutet für die differenz von N(t+1)-N(t) [das was an diesem tag dazukommt] N(t+1)-N(t)=0,99*N(t)+0,02-N(t) soweit einig? =-0,01*N(t)+0,02 je größer aber N(t) wird, desto größer wird die abnahme durch -0,01*N(t).... deswegen wird die zunahme des nikotins pro tag mit steigendem N(t) immer geringer. die zunahme nähert sich sogar immer weiter 0 an.... für welchen N(t)-wert wäre sie denn genau 0? |
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| 20.01.2005, 12:49 | babe_85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
jetzt bin ich irgendwie durcheinander: also bei a) reichts ja,wenn ich dir formel hinschreib N(t+1)=0,99*N(t)+0,02 oder? selbst wenn ich das jetzt ausrechnen muss mit x_0 = 0, mach ich was??? und bei b) muss ich schaun, wenn N(t+1)-N(t)=0,99*N(t)+0,02-N(t) =-0,01*N(t)+0,02 wann, 0 rauskommt? wie geht das?
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| 20.01.2005, 12:56 | babe_85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
oder meinst du bei, -0.02 wäre es natürlich 0 weil: =-0,02*N(t)+0,02 = 0 aber ich versteh das mit N(t) nicht, dafür muss ich doch auch etwas einsetzen....? |
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| 20.01.2005, 12:59 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das ist eine implizite formel, das heißt, du musst für N(7) z.b. zunächst N(6) ausrechnen, dafür wiederum N(5) usf. ob man das allgemein als explizite formel angeben kann, weiß ich nicht, dafür kenne ich mich jetzt in diesen wachstumsgeschichten (ich glaube dieses nennt sich "beschränktest wachstum") nicht aus. also weiß ich auch nicht, was von dir verlangt ist. wäre übrignes gut, wenn du die wortlaute von b) und c) mal angeben könntest. also du bekommst etwas so wie die untere kurve. (s. bild) dabei hast du die schranke (rot), die eben gerade gesucht wird. diese wird von unten angenähert, aber nie erreicht. (wäre dein startwert über der roten kurve gewesen, so hätte sich deine kurve von oben der kurve genähert, aber diese nicht erreicht) wenn dein startwert genau der rote wert (:=S, S wie schranke) gewesen wäre, dann wäre dein nikotingehalt konstant dieser wert, denn relative abnahme (1%) und feste zunahme (0,02) wären genau gleich. warum das ganze so ist, habe ich oben bereits erklärt. jetzt aber wollen wir den roten wert berechnen. bei diesem ist relative abnahme = fester zunahme, also gilt 0,01*S=0,02 und daraus kannst du S berechnen. mfg jochen edit: bild |
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| 20.01.2005, 13:11 | babe_85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok, das ist jetzt soweit klar.... b) wie verhält sich der nikotingehalt über längere zeit...gut das haben wir eh beantwortet. c) wird der wert 1 jemals überschritten? das ist das mit der grenze S was wir jetzt machen oder? |
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| 20.01.2005, 13:13 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
genau.... liegt 1mg über S, so wird er nie erreicht, ist 1mg=S, dann wird er angenähert, aber definitf nie überschritten (auch nicht erreicht)... was hast denn für S errechnet? |
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| 20.01.2005, 13:18 | babe_85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
naja...stimmt das so: 0,01*S = 0,02 0,02 / 0,01 = S 2=S |
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| 20.01.2005, 13:22 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja das stimmt. je mehr du dich der grenze S=2mg näherst desto weniger nikotin wird noch zusätzlich aufgebaut. das reicht dann immer nur, um sich 2mg noch weiter zu nähern, aber kann niemals diese grenze überschreiten. (analoge überlegungen führen dazu, das es nie unterschritten werden kann, wenn du von oben kommst) wird also der wert 1mg überschritten? |
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| 20.01.2005, 13:35 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wie wäre es mit folgendem Ansatz: Wir betrachten den Nikotingehalt f(t) an zwei Zeitpunkten t und t + delta_t. Dann ist: dabei wird t in Tagen gemessen. Jetzt subtrahieren wir f(t), dividieren durch delta_t und bilden den Limes für delta_t --> 0. Dann haben wir: Also: f'(t) = f(t) * ln(0,99) + 0,02 Das ist eine hübsche Differentialgleichung, die man mit den üblichen Mitteln lösen kann. Ich komme für große t auf einen Grenzwert von ca. 1,99 (-0,02 / ln(0,99)) mg. |
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| 20.01.2005, 13:42 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
was unsere mit einfachen mitteln berechnete schranke S bestätigt.... 
ich weiß, das man sowas elegant mit differentialgkleichungen lösen kann, aber davon nehme ich persönlich gerne abstand und ich weiß auch nicht, ob das zu babes schulniveau passt. mfg jochen |
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| 20.01.2005, 14:04 | babe_85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
desto einfacher umso besser.... es wird also die grenze 1 mg überschritten. zwei fragen hab ich jetzt noch: d) gibt es einen grenzwert bei dem sich nikotinzufuhr und -abbau die waage halten? e) zeichne schaubilder, wo einmal (n, x_n) die koordinaten sind und ein mal (x_n, x_(n+1)) (phasenraum)! |
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| 20.01.2005, 14:21 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
d) kannst du jetzt selbst beantworten!..... e) den begriff phasenraum kenne ich nicht 
, aber hast du die schaubilde schon gezeichnet? |
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| 20.01.2005, 14:42 | babe_85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
d) wie kann ich das berechnen? ist das so ähnlich wie schnittpunkt berechnung? e) nein, ich hab keine ahnung wie man überhaupt ein schaubild zeichnet? |
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| 20.01.2005, 15:12 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
zu d) das ist doch gerade unsere Schranke S.... lies mal oben nach.... zu e) ich vermute n ist unser t und x_n unser N(t) oder? |
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| 20.01.2005, 15:15 | babe_85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
achso stimmt..... weil ja nie drauf....nicht drüber, und das ganze... ok. und wie zeichnet man ein schaubild? |
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| 20.01.2005, 15:27 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich sags dir mal für den einfachen fall (bei dem phasenraum bin ich mir wie gesagt nicbht sicher) du hast 2 achsen, eine t-achse nach rechts und eine N(t)-achse nach oben. (das sollte deinem n, x_n entsprechen) dann trägst du die zu jedem t-wert (1,2,3,...) bis irgendwas die entsprechende N(t)werte anch oben ab. und verbindest das ganze dann zu einer kurve. dei sollte meiner obigen skizze recht nahe kommen. also t=0 wird N(t)=0 zugeordnet. t=1 N(t)=0,02... mfg jochen |
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| 20.01.2005, 15:37 | babe_85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
aha...also eh wie ein ganz normales diagramm...ok, das krieg ich dann ja wohl hin *g* erm...ich hab da auch noch ein anderes bsp bei dem ich schaubilder zeichnen muss....nachdem ich jetzt ja weis wie man die zeichnet.... weis ich allerdings nicht wie ich für mein anderes bsp eine einfache differenzengleichung löse??? ich schreib mal die angabe hier: [latex] y_t+2 - 3 y_t+1 + 2y_t = 0 [\latex] und dann hab ich dazu noch y_0 = 1 und y_1 = 0 kennst du dich damit vielleicht auch aus??? |
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| 20.01.2005, 16:06 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
der slash gehört sorum: [/latex]
wenn du längere terme (z.b. t+1) tiefstellen willst, dann mit _{....} zu deinem problem: das kannst du umformen zu: mit den beiden gegebenen anfangswerten kannst du dann wieder rekursiv arbeiten und die werte berechnen..... mfg jochen |
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| 20.01.2005, 16:13 | babe_85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
da kommt -2 raus, richtig?? |
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| 20.01.2005, 16:21 | babe_85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
muss jetzt gehen, hab gleich mathe ;-) vielen dank für deine viele hilfe! schönen tag noch! bis dann babe |
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| 20.01.2005, 19:13 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich versuch es mal: Zuerst wird die dazu homogene Differenzengleichung n(t+1) - 0.99*n(t) = 0 gelöst durch den Ansatz: n(t) = z^t, wobei das z zu bestimmen ist. Eingesetzt folgt mit n(t+1) = z^(t+1): z^(t+1) - 0,99*z^t = 0, und nach Division durch z^t folgt z = 0,99 also als Lösung der homogenen Differenzengleichung: n(t) = 0.99^t. Für die Original-Differenzengleichung machen wir daher den Ansatz: N(t) = A*0,99^t + B mit noch zu bestimmenden Konstanten A und B. Es folgt N(t+1) = A*0,99^(t+1) + B und beides eingesetzt in N(t+1) = 0,99*N(t) + 0,02 ergibt A*0,99^(t+1) + B = 0,99*(A*0,99^t+B) + 0,02 A*0,99^(t+1) + B = 0,99*A*0,99^t + 0,99*B + 0,02 A*0,99^(t+1) + B = A*0,99^(t+1) + 0,99*B + 0,02 Die beiden Glieder mit A fallen raus, es bleibt B = 0,99*B + 0,02 , also 0,01*B = 0,02 also B = 0,02/0,01 = 2 Somit haben wir bis jetzt: N(t) = A*0.99^t + 2 A wird bestimmt aus dem Anfangswert N(0) = 0 zu A*0,99^0 + 2 = 0 A*1 + 2 = 0, also A = -2 Somit: N(t) = - 2*0,99^t + 2 Oder: N(t) = 2*(1 - 0,99^t) Probe: N(0) = 2*(1 - 0,99^0) = 2*(1 - 1)=0 Probe: N(1) = 2*(1 -0,99^1) = 2*(1 - 0,99) = 2*0,01 = 0,02 und für den Nikotinspiegel nach einem Jahr: N(365) = 2*(1 - 0.99^365) = 1.95 ungefähr |
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| 21.01.2005, 12:54 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich nehme mal an, du meinst als schranke?! hast denn einfach mal zur probe die ersten vielen folgengleider mal gerechnet?! @etzwane: wahnsinn 
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