reflexiv, transitiv, etc. |
| 20.01.2005, 11:47 | studi19 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| reflexiv, transitiv, etc. frage: kann mir jemand reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch und transitiv erklären, wenns geht auch anhand eines zahlenbsps....die trockene theorie steht in meinem buch auch drin, aber ich checks net...kann das jemand in form einer kleinkinderklährung beschreiben?? please thx studi |
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| 20.01.2005, 11:48 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
das sind eigenschaften die relationen erfüllen können. zunächst mal: weißt du denn überhaupt, was relationen sind? mfg jochen |
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| 20.01.2005, 11:56 | studi19 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ja, relationen sind spezielle funktionen |
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| 20.01.2005, 12:18 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
eine Relation über einer Menge M ist eine teilmenge von MxM und zwar alle paare, die eine bestimmte eigenschaft erfüllen. (z.b. M=Menge der natürlichen zahlen, die relation R ist: aRb (das heißt a steht in relation zu b), wenn a+b=2 gilt dann ist R={(0,2),(1,1),(2,0)} die relation als teilmenge von INxIN) nun bedeuten reflexivität: xRx für alle x aus M, das heißt jedes Element aus M steht zu sich selbst in Relation (muss für alle gelten) symmetrie: aus xRy folgt yRx, also wenn x in relation zu y steht, dann auch andersrum transitivität: wenn xRy und yRz, dann gilt auch xRz antisymmetrie: xRy und yRx kann nur dann sein, wenn x=y ist (also es gibt keine 2 unterschiedlichen elemente für die xRy und yRx gilt) war das verständlich genug? ansonsten frag genauer nach! mfg jochen |
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| 20.01.2005, 12:23 | studi19 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ok....soweit klar d.h. man kann eigentlich davon ausgehen, dass alle ganzen zahlen reflexiv sind, oder? jede zahl steht doch in relation mit sich selbst, nicht wahr? wenn ich das jetzt anwenden soll, auf so ein bsp: S= N xpy <=> x + y ist gerade dann ist meine eigenschaft, dass y gerade sein muss? und wie weis ich jetzt ob es reflexiv, transitiv, symmetrisch ist? ich versteh den schritt von theorie auf praxis nicht... |
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| 20.01.2005, 12:32 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
das hängt ganz von der relation ab! und natürlich auich von der menge, ob die ganzen zahlen überhaupt drin sind..... beispiel: relation über der Menge M={1,2,3}, (x,y) liegt in R, wenn x>y ist nicht refelxiv, denn 1 ist nicht größer als 1! (obwohl 1 eindeutig ganze zahl ist) S= N xpy <=> x + y ist gerade das heißt erstmal: grundmenge S ist die menge der netürlichen Zahlen (IN) also S={1,2,3,...} x steht in relation (ich schreibe da R, sie schreiben rho, das ist ja egal, je anchdem wie die relation heißt), wenn x+y als summe gerade ist. also z.b. (3,4) ist nicht in der relation, denn 3+4 ist ungerade, aber (7,7) ist in der relation, denn 7+7=14 ist geade. die eigenschaften nachzuprüfen überlasse ich jetzt mal dir.... zunächst mal: prüfe auf reflexivität! poste mal deine ideen 8lies oben was dafür gelten muss), dann helfe ich dir weiter! |
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| 20.01.2005, 12:54 | studi19 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
aha, ok... also reflexiv ist es weil z.b. 2 und 2 ist 4 ist gerade symmetrisch ist es auch, weil 2 und 4 ist 6 ist gerade und alle zahlen stehen in relation zueinander transitiv ist es auch weil, 2 und 4 ist 6 ist gerade und 2 minus 6 wieder 4 ergibt? oder darf ich das nicht machen? |
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| 20.01.2005, 13:02 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ganz wichtig: das muss nicht nur für von dir gewählte elemente gelten, sondern immer für alle! also reflexivität: x beliebig aus IN, gilt dann x+x gerade? steht also JEDES x in relation mit sich selbst? beispiele eignen sich nur als gegenbeispiele, denn dann widerlegst du mit einem beispiel das für alle. z.b. antisymmetrie kannst du hier mit einem gegenbeispiel widerlegen! mfg jochen |
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| 20.01.2005, 13:16 | studi19 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
aso, d.h. die relation ist reflexiv....nicht transitiv und antisymmetrisch, weil: 2 und 2 ist 4, 3 und 3 ist 6, 4 und 4 ist 8....es kommen immer gerade zahlen heraus - reflexiv 2 und 3 ist 5 - antisymmetrisch nicht transitiv weil 2 und 3 ist 6, 2 und 6 ist 8..(obwohl is ja auch gerade), aber 3 und 6 ist 9...nicht gerade |
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| 20.01.2005, 13:20 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
reflexiv klar, weil x+x=2x gerade für alle x aus IN (viel schöner als dein pünktchenbeweis, oder?)
das musst du mir noch mal erklären?!
NEIN! 2+3=5 es muss gelten: xRy und yRz => xRz kannst du das beweisen oder widerlegen? mfg jochen |
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| 20.01.2005, 14:06 | studi19 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ich glaub ich geb auf....ich hab noch 7 von diesen relationen und muss beweisen, dass es sich bei einigen davon um äquivalenzklassen handelt und dann auch noch die äquivalenzklassen aufstellen, wovon ich erst recht keine ahnung habe..... is egal trotzdem danke für deine bemühungen! have a nice day! |
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| 20.01.2005, 14:20 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
schade, so schwer ist es (zumindest hier) wirklich nicht..... |
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| 21.01.2005, 10:40 | Sh0rty | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hmmm...ich versuchs nochmal: Haben wir eine (2-stellige)Relation über einer Menge M (also R ist Teilmenge von M x M) dann definiert diese Relation eine ganz bestimmte Beziehung zwischen den Elementen (a,b) € R (oder auch aRb geschrieben) ! Nehmen wir mal dein Beispiel: R := {(x,y)| x,y € IN und x+y ist gerade} (R ist hier also Teilmenge des kartesischen Produktes IN x IN.) R definiert also eine Beziehung zwischen den Zahlen x,y nämlich die, dass dessen Summe x + y eine gerade Zahl ist (und nur Paare für die das gilt sind in R enthalten) ! Ich schreib mal den Anfang der Menge extensional auf (für IN = {1,2,3,4,5,6,,...}: R ={(1,1),(1,3),(1,5),... (2,2),(2,4),(2,6),... (3,1),(3,3),(3,5)... (4,2),(4,4),(4,6)... (5,1),(5,3),(5,5),... (6,2),(6,4),(6,6),...} Nun prüfen wir mal Schritt für Schritt Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität: Wenn R reflexiv ist, dann muss für alle x € IN gelten (x,x) € R (oder andere Schreibweise: xRx)! (x,x) € R heisst x + x ist gerade und da für alle x € IN gilt: x + x = 2*x ist dies auch der Fall! Wenn R antisymmetrisch ist, dann muss für alle x,y € IN gelten: Wenn (x,y) € R und (y,x) € R dann x=y! Hier können wir direkt aus unserer obigen extensionalen Mengendarstellung ein Gegenbeispiel finden: (1,3) € R und (3,1) € R aber nicht (1 = 3) Also ist R nicht antisymmetrisch ! Wenn R transitiv ist, dann muss für alle x,y,z € IN gelten: Wenn (x,y) € R und (y,z) € R dann auch (x,z) € R! Das heisst also ist x + y gerade und ist auch y + z gerade dann muss auch x + z gerade sein! An der obigen Mengendarstellung kann man schon erkennen das das für einige Elemente gilt, z. B: (1,3) € R und (3,5) € R und auch (1,5) € R oder: (2,4) € R und (4,6) € R und auch (2,6) € R ... Allerdings reicht das nicht als Beweis, wir müssen beweisen, dass für alle x,y,z € IN gilt: Wenn x + y gerade ist und y + z gerade ist dann ist auch x + z gerade! Überlegung: Eine Summe a + b ist genau dann gerade wenn (a und b gerade ist) oder (a und b ungerade ist)! 1. Fall: x und y ist gerade : Also y + z ist gerade und y ist gerade => z ist gerade Also ist x und z gerade => x + y ist gerade 2. Fall: x und y ist ungerade: Also ist y + z gerade und y ist ungerade => z ist ungerade Also ist x und z ungerade => x + z ist gerade q. e. d. Bin mir nicht 100pro sicher ob der Beweis so korrekt geführt ist 
Aber ich hoffe doch im grossen und ganzen ist einigermassen klar geworden was eine reflexive, antisymmetrische und/oder transitive Relation ausmacht! Sonst frag nochma nach 
MfG Shoddy |
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| 21.01.2005, 12:17 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
sieht eigentlich prima aus.....
da muss es natürlich hinten x+z heißen..... mfg jochen |
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| 21.01.2005, 12:17 | BraiNFrosT | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich bin mir nicht 100% sicher, aber ich würde sagen Wenn a+b = gerade und b + a = gerade => a+b = b+a und das würde ja stimmen. |
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| 21.01.2005, 12:26 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ist ebi antisyymetrie nicht gefordert, brainfrost! die genaue defintion ist: also musst du hier x und y vergleichen, aber da gibt es eben beispiele für x<>y, für die eben trotzdem xRy und yRX gilt (z.b. 3 und 1) mfg jochen |
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| 21.01.2005, 12:41 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Noch zum Verständnis. Antisymmetrie ist nicht als Umkehrung der Symmetrie zu verstehen. Es gibt Relationen die sind sowohl antisymmetrisch als auch symmetrisch (auch wenn mir da spontan nur die leere Relation einfällt). Ich will nur sagen, ist eine Relation nicht symmetrisch so heißt das nicht das sie antisymmetrisch ist Beispiel M = {1,2,3} R = {(1,2),(2,1),(1,3)} So die Relation ist nicht antisymmetrisch wegen (1,2),(2,1). Sie ist aber auch nicht symmetrisch da (3,1) nicht in der Relation enthalten ist. |
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| 21.01.2005, 12:47 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
du kannst jedes reflexive element reinnehmen.... schönes beispiel: die gleichheitsrelation auf der menge der reellen zahlen.... wenn x=y, dann gilt auch y=x also symmetrisch aus x=y und y=x folgt automatisch das die bedien elemente = sind. oder M={1,2,3} R={(1,1)} mfg jochen |
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| 21.01.2005, 13:36 | Sh0rty | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
upps...stimmt...muss natürlich x + z heissen 
Da wir gerade dabei sind, mich quält schon seit längerem folgendes Problem in bezug auf Relationen und deren Definition: Ich habe folgende Relation R: R := {(x,y) | x € IN und y € IN und x <= y und 1 < y < 5} also R Teilmenge von IN x IN extensional also: R := {(1,2),(2,2),(1,3),(2,3),(3,3),(1,4),(2,4),(3,4),(4,4)} Ist diese Relation nun reflexiv? Also, klar, für alle x mit 1<x<5 gilt xRx, aber muss ich nicht laut Definition der Reflexivität für alle x € IN prüfen ob xRx gilt? Dann wäre ja z.B. (5,5) nicht in R! @ BrainFrost
Du müsstest aber wie LOED schon gesagt hat prüfen ob gilt: Wenn a+b = gerade und b+a = Gerade => a = b |
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| 21.01.2005, 13:45 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=9918& kannst auch mal das da lesen.... war auch interessant. deine relation ist nicht reflexiv, denn (7,7) liegt nicht in R, oder auch (19,19) nicht in R, oder sogar (1,1) nicht in R.... mfg jochen |
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| 21.01.2005, 14:11 | Sh0rty | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ahhh...yeah...genau das isses LOED...muchas gracias 
Dat hat mich schon voll lange beschäftigt 
Also, wenn ich das richtig verstanden habe kommt es auf die Definition an: R := {(x,y) | (x,y) € {1,2,3,4}² und x <= y} wäre also in dem Fall reflexiv !?! MfG Shoddy |
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| 21.01.2005, 14:30 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
nur mit der bedingung xRy, wenn "x <= y" (so stehst in deinem letzten beitrag) wäre das reflexiv, ja. allerdings wäre das auch auf der kreuzmenge der natürlichen (oder sogar reellen) zahlen mit sich selbst reflexiv (jede zahl ist kleinergleich sich selbst) wenn du noch die bedingung 1<y<5 dazunimmst und nun folgendes hast: R := {(x,y) | (x,y) € {1,2,3,4} und x <= y und 1 < y < 5}, dann musst du dir neu überlegen, ob das reflexiv ist. ich sage aber nein, denn (1,1) ist nicht in R! du musst die menge weiter einschränken, also M={2,3,4} [zusatz: du bekommst damit jede relation dazu, reflexiv zu sein, wenn du sie nur auf der leeren menge aufbaust! diese relation ist selbst natürlich auch leer und ist somit: reflexiv, transitiv, symmetrisch, antisymmetrisch und sogar irreflexiv.] mfg jochen |
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| 21.01.2005, 14:38 | Sh0rty | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
schon klar...hab ich eben selber zu spät gemerkt das (1,1) nicht in R liegt....von da her wäre R sowieso von vornherein nicht reflexiv....mein Fehler, hätte schreiben müssen 1 <= y < 5 (oder halt die Menge auf 2,3,4 einschränken)...deswegen habe ich im letzten Beitrag nur x <= y als Bedingung gesetzt. Noma thx für die schnelle Hilfe....hoffe hab nich zu sehr vom eigtl. Thema abgelenkt 
...Mfg Shoddy |
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