Integral - Seite 2

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18.06.2007, 20:35

Falken-Gesäß

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ja sorry, ich hab des mit den vorzeichen verpeilt. aber was ist mit den 5/2 wo du mal gesagt hast?

18.06.2007, 21:49

WebFritzi

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Wo ich mal gesagt hab?

Zitat:

Original von Falken-Gesäß
$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty}~ \frac{x^{2}}{\sqrt{4x^8}}~dx+\int_{1}^{\infty}~ \frac{2x}{\sqrt{4x^8}}~dx = \int_{1}^{\infty} x^2*(-2x^{-4}) + \int_{1}^{\infty} 2x*(-2x^{-4}) .... = - \frac{8}{9} \end{eqnarray*}$

Das erste Gleichheitszeichen ist falsch. Ich habe das nicht bemerkt und die beiden Integrale nach diesem Gleichheitszeichen ausgerechnet. Und da kommt 5/2 raus. Du solltest scheinbar rechnen üben. Das ist ja schlimm...

19.06.2007, 07:38

klarsoweit

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Zitat:

Original von Falken-Gesäß
$\begin{eqnarray*} ...=[- \frac{1}{2*\infty}-(- \frac{1}{2*1})] +2*[-\frac{1}{4*\infty^2}-(- \frac{1}{4*1^2})] \end{eqnarray*}$

Ich bin ein eher konservativer Mathematiker und da sehe ich so Rechnungen mit unendlich drin gar nicht gerne, auch wenn das Ergebnis letztlich stimmt.

Zitat:

Original von WebFritzi
Wo ich mal gesagt hab?

Zitat:

Das erste Gleichheitszeichen ist falsch. Ich habe das nicht bemerkt und die beiden Integrale nach diesem Gleichheitszeichen ausgerechnet. Und da kommt 5/2 raus.

Die Integrale $\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty} x^2*(-2x^{-4})~dx + \int_{1}^{\infty} 2x*(-2x^{-4})~dx \end{eqnarray*}$ sind in der Umformungsfolge zwar falsch, aber da die Integranden jeweils negativ sind, kann auch nicht 5/2 rauskommen.

19.06.2007, 11:39

Falken-Gesäß

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Rechnen üben??
Ja mag sein, hoffe es reicht noch für die Mathe 2 Klausur nächste Woche!

19.06.2007, 11:45

WebFritzi

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Tipp: Da du nicht sehr fit im Rechnen bist, rechne in der Klausur laaangsaaam. Augenzwinkern

19.06.2007, 17:11

Falken-Gesäß

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Ich hab hier noch en schönes Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~ \frac{1}{\sqrt{x^2+4}}~dx \end{eqnarray*}$

HINWEIS: Minorantenkriterium mit vollständigem Quadrat.

Sagt mir mal was ich mit dem Hinweis anfangen soll, dann versuch ich mich mal an der Aufgabe.

19.06.2007, 20:14

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} x^2 + 4 \le (x + 2)^2 \end{eqnarray*}$

20.06.2007, 18:03

Falken-Gesäß

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Kurze Erläuterung zu dem Hinweis wäre toll. Ich muss doch jetzt was kleineres suchen!?
???Mit vollständigem Quadrat???

20.06.2007, 18:09

Calvin

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Zitat:

Original von Falken-Gesäß
Ich muss doch jetzt was kleineres suchen!?

Ja. Und wenn der Nenner größer wird, wird der komplette Bruch kleiner Augenzwinkern

Warum die Abschätzung im Integrationsintervall stimmt, kannst du übrigens sehr leicht zeigen, indem du rechts die Klammer auflöst.

20.06.2007, 18:22

Falken-Gesäß

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Ja, aber was genau soll das mit dem "ganzen Quadrat" heißen?
Das ich Abschätzungen, jetzt hier im Nenner zum Bsp. nur quadratisch ändern darf?

Sieht dann so aus:

$\begin{eqnarray*} ...\geq \int_{0}^{\infty}~ \frac{1}{x^4+8x^2+16} ~dx \end{eqnarray*}$

20.06.2007, 18:31

klarsoweit

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Was ist denn ... ? verwirrt

20.06.2007, 18:39

Falken-Gesäß

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Stimmt das was ich oben geschrieben hab?

Ich darf nur qudratische Änderungen vornehmen?
Also hab ich den Nenner 2 mal quadriert!

20.06.2007, 18:42

Calvin

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Deine letzte Abschätzung ist falsch. Du hast nicht das ersetzt, was webfritzi vorgeschlagen hat. Bei dir fehlt noch die Wurzel!

Zitat:

Original von Falken-Gesäß
Ja, aber was genau soll das mit dem "ganzen Quadrat" heißen?
Das ich Abschätzungen, jetzt hier im Nenner zum Bsp. nur quadratisch ändern darf?

Das heißt, du sollst unter der Wurzel so abschätzen, dass du die Wurzel ziehen kannst. Wenn du webfritzis Abschätzung richtig anwendest, wirst du das schöne Ergebnis sehen.

20.06.2007, 18:47

Falken-Gesäß

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Ich muss erst die Wurzel ziehen und quadriere dann den ganzen Nenner?

20.06.2007, 19:20

Calvin

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Äh, nein. Lass dich durch den Hinweis nicht verwirren und nutze ganz stur webfritzis Hinweis. Dieser besagt, dass $\begin{eqnarray*} x^2+4\leq (x+2)^2 \end{eqnarray*}$

Da dieser Ausdruck im Nenner steht, machst du mit der Abschätzung den Nenner größer. Der gesamte Bruch wird dadurch kleiner.

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~ \frac{1}{\sqrt{x^2+4}}~dx\geq \int_0^{\infty}~\frac{1}{\sqrt{(x+2)^2}}\,\dx=\ldots \end{eqnarray*}$

20.06.2007, 19:42

Falken-Gesäß

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Das sieht bei mir dann so aus:

$\begin{eqnarray*} ...= \int_{0}^{\infty}~ \frac{1}{x+2}~dx = [ln\mid x+2 \mid]_{0}^\infty \end{eqnarray*}$

und es kommt unendlich raus. -> divergent!

Aber der Prof. hat des extra dazu geschrieben mit dem Hinweis. Was heißt denn das genau???

20.06.2007, 19:46

Calvin

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Damit war genau die Abschätzung gemeint, die du hier verwendet hast. Du hast aus $\begin{eqnarray*} x^2+4 \end{eqnarray*}$ durch Abschätzen einen Ausdruck (ein "vollständiges Quadrat") gemacht, aus dem du die Wurzel ziehen konntest.

20.06.2007, 19:48

WebFritzi

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Keine Ahnung, und das ist auch nicht wirklich wichtig. Anstatt das Integral auzurechnen könntest du auch weiter abschätzen, aber das hat ja beim letzten mal auch nicht geklappt.

20.06.2007, 19:51

Calvin

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@WebFritzi

jetzt muss ich aber auch mal nachfragen: was ist besser daran, das Integral noch weiter abzuschätzen? Reicht es nicht aus, das Integral auszurechnen? Oder habe ich dich falsch verstanden?

20.06.2007, 19:54

WebFritzi

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Übung, Übung, Übung... Das ist daran besser. Es ist besser für ihn. Bisher hat er - soweit ich das sehe - noch keine Abschätzung alleine hinbekommen. Und warum? Weil er keine Übung darin hat. Außerdem finde ich es eleganter. Augenzwinkern

20.06.2007, 19:59

Calvin

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OK mit dem Argument "Übung" hast du recht. Das kam aber bislang nicht so klar rüber Augenzwinkern

20.06.2007, 20:08

Falken-Gesäß

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Diese Aufgabe hab ich jetz mal allein gelöst, hoffe sie stimmt!?

Man zeige durch Abschätzen: Das Integral existiert.

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty}~\frac{1}{\sqrt{x^4+sin^2x}}~dx \leq \int_{1}^{\infty}~\frac{1}{x^2}~dx= [- \frac{1}{x}]_{1}^\infty = -1 \end{eqnarray*}$

20.06.2007, 20:19

Calvin

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Das Endergebnis (nach dem letzten Gleichheitszeichen) ist falsch. Aber die Abschätzung stimmt.

Auch auf die Gefahr hin, dass ich dich jetzt verwirre, aber du solltest nicht nur in eine Richtung abschätzen. Es könnte ja z.B. sein, dass dein letztes Integral gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ divergiert. Dann bringt dir die Abschätzung nach oben nichts.

In deinen Beispielen ist die zweite Abschätzung aber sehr einfach. Alle deine Funktionen sind im Integrationsintervall größer als null.

Am Beispiel deiner letzten Aufgabe würde das so aussehen:

$\begin{eqnarray*} 0\leq \int_{1}^{\infty}~\frac{1}{\sqrt{x^4+sin^2x}}~dx \leq \int_{1}^{\infty}~\frac{1}{x^2}~dx= [- \frac{1}{x}]_{1}^\infty =\ldots \end{eqnarray*}$

20.06.2007, 20:28

Falken-Gesäß

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Ja gut, wenn in der Aufgabe steht:Zeigen sie dass das Integral nicht existiert. Dann reicht eine Abschätzung.
Wenn nichts dabei steht und ich bekomm beim ersten Abschätzen Unendlich raus, dann schätze ich noch mal in die andere Richtung ab!

Schaut Euch das mal bitte an:

Die Lösung einer linearen, homogenen Dgl mit konstanten Koeffizienten lautet:

y(x)= $\begin{eqnarray*} c1+e^x [(c2+c3x)cos2x+(c4+c5x)sin2x] \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie die zugehörige Dgl.

Kann mal jemand erklären, wie ich hier strategisch sinvoll ran gehen soll?

Ich sehe 5 Nullstellen und irgendwie was doppelt konjugiert komplexes wegen sin und cos.

21.06.2007, 08:49

WebFritzi

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Mach dafür einen neuen Thread auf, denn das ist ein komplett anderes Thema.

21.06.2007, 17:35

Falken-Gesäß

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Zitat:

Original von Falken-Gesäß
Diese Aufgabe hab ich jetz mal allein gelöst, hoffe sie stimmt!?

Man zeige durch Abschätzen: Das Integral existiert.

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty}~\frac{1}{\sqrt{x^4+sin^2x}}~dx \leq \int_{1}^{\infty}~\frac{1}{x^2}~dx= [- \frac{1}{x}]_{1}^\infty = -1 \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis ist 1 nicht -1!

21.06.2007, 17:38

Calvin

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21.06.2007, 17:54

Falken-Gesäß

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Thread wegen der anderen Aufgabe existiert bereits auf der 2 Seite. Nur noch keine Antworten. Kann wohl keiner :-)

21.06.2007, 18:57

Falken-Gesäß

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Zeigen Sie durch Abschätzen, dass das Integral existiert.

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty}~ \frac{1}{x^2*e^x }~dx \leq \int_{1}^{\infty}~ \frac{1}{x^2}~dx =[...] = 1 ??? \end{eqnarray*}$

(Im Nenner steht x^2 * e^Wurzel(x)). Hat im Editor nicht geklappt.

Ist die richtig?

21.06.2007, 20:03

Calvin

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Ja, das stimmt. Und das mit der Wurzel machst du mit

code:
1:	e^{\sqrt{x}}

22.06.2007, 09:57

Falken-Gesäß

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Neues Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty}~ \frac{1}{e^x *\sqrt{x} }~dx\leq \int_{1}^{\infty}~ \frac{1}{\sqrt{x} }~dx = [\frac{2}{x^-\frac{1}{2}}]_{1}^\infty = -2 ??? \end{eqnarray*}$

22.06.2007, 09:59

WebFritzi

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Du brauchst diese Integrale nicht andauernd auszurechnen! In deinem Skript findest du sicherlich irgendwo die Aussage, dass z.B. das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\;dx \end{eqnarray*}$

konvergiert.

22.06.2007, 10:10

Falken-Gesäß

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Was mir bei diesen Aufgaben halt noch net so ganz klar ist, in wie weit ich den Nenner verändern darf, ohne das Ergebnis zu beeinflussen!?

22.06.2007, 10:28

Calvin

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Zitat:

Original von Falken-Gesäß

$\begin{eqnarray*} [\frac{2}{x^-\frac{1}{2}}]_{1}^\infty=2 \end{eqnarray*}$

Das stimmt nicht. Die Stammfunktion ist zwar richtig, aber das Integral $\begin{eqnarray*} \int_1^\infty~\frac{1}{\sqrt{x}}\,\dx \end{eqnarray*}$ konvergiert nicht. Du hast mit deiner Abschätzung also nichts gewonnen. Du weißt jetzt nur, dass dein ursprüngliches Integral $\begin{eqnarray*} \leq \infty \end{eqnarray*}$ ist.

Mit einer anderen Abschätzung wirst du erfolgreicher sein Augenzwinkern

22.06.2007, 10:41

WebFritzi

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OK, ein für alle mal... Es gilt für s > 0:

$\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \frac{1}{x^s}\,dx \;\begin{cases}\text{konvergiert für }\,s > 1\\ \text{divergiert für }\,s\le 1.\end{cases} \end{eqnarray*}$

Merk dir das bitte, Falken-Gesäß.

22.06.2007, 11:09

Falken-Gesäß

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OK, das schreib ich mir mal auf.

d.h. $\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty}~ \frac{1}{ \sqrt{x}} ~dx \end{eqnarray*}$ divergiert.

Und $\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty}~ \frac{1}{e^x}~dx \end{eqnarray*}$ ?

22.06.2007, 11:13

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} e^x > x^2 \end{eqnarray*}$ für große x (Merksatz: Die Exponentialfunktion wächst schneller als jedes Polynom).

22.06.2007, 11:18

Falken-Gesäß

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Aha, also kann ich die Abschätzung:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty}~ \frac{1}{e^x}~dx \end{eqnarray*}$
so vornehmen,da sie größer ist als 1/x^2 und somit auch konvergent! -> Integral existiert.

22.06.2007, 11:28

klarsoweit

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Immer diese Bruchstücke. unglücklich

Was wird denn nun gegen was abgeschätzt bzw. was ist nun größer als was?

22.06.2007, 11:49

Falken-Gesäß

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$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty}~ \frac{1}{e^x *\sqrt{x}}~dx \leq\int_{1}^{\infty}~ \frac{1}{e^x}~dx = [-e^-x]_{1}^\infty = 0,37 \end{eqnarray*}$

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