Integral

16.06.2007, 14:51

lammbock

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Integral

Zeigen Sie: Das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty}~\frac{x^2+2x-3}{\sqrt{4x^8+3x+7}}~dx \end{eqnarray*}$

existiert.

Kann mir die Aufgabe jemand lösen?
Ich dachte an Majoranten Kriterium, die Wurzel dann weg lassen und Nenner 2 mal substituieren. kann das sein?

EDIT von Calvin
LaTeX-Tags eingefügt

16.06.2007, 15:01

Calvin

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RE: Integral
Majorantenkriterium ist gut. Allerdings verstehe ich nicht genau, was du substituieren möchtest verwirrt

verwirrt

Ich würde ich im Integrationsintervall $\begin{eqnarray*} [1,\infty ] \end{eqnarray*}$ folgendermaßen abschätzen:

$\begin{eqnarray*} 0\leq \frac{x^2+2x-3}{\sqrt{4x^8+3x+7}}< \frac{x^2+2x}{\sqrt{4x^8}} \end{eqnarray*}$

PS Damit die Formeln richtig dargestellt werden, musst du LaTeX-Tags einfügen:

code:
1:	[latex] Formelcode [/latex]

16.06.2007, 15:11

Falken-Gesäß

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ok, ich versuchs jetz noch mal.
du hast im zähler -3 und im nenner 3x+7 weg genommem um das integral zu vereinfachen und lösen zu können.
kann ich bei dem m.kriterium weg nehmen was ich will, hauptsache das neue integral ist größer als das alte?

16.06.2007, 15:22

Calvin

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RE: Integral

Zitat:

kann ich bei dem m.kriterium weg nehmen was ich will, hauptsache das neue integral ist größer als das alte?

Jein. Wenn du nach oben abschätzen willst, muss die neue Funktion natürlich in jedem Punkt über der alten liegen. Warum meine Abschätzung diese Bedingung erfüllt, darfst du dir selbst überlegen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn du aber zu weit nach oben abschätzt, kannst du keine Aussage mehr treffen. Zum Beispiel ist

$\begin{eqnarray*} 0\leq\frac{x^2+2x-3}{\sqrt{4x^8+3x+7}}<x^2+2x-3 \end{eqnarray*}$

Aber das Integral konvergiert nicht mehr.

16.06.2007, 15:35

Falken-Gesäß

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ich denk deine abschätzung läuft einfach schneller gegen unendlich. oder?
hätte ich im zähler -3 und im nenner nur die +7 weg gelassen, dann wäre das doch auch ok!?

ich bekomm da jetz (+unendlich) heraus. kann des sein?

16.06.2007, 15:47

Calvin

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Zitat:

Original von Falken-Gesäß
hätte ich im zähler -3 und im nenner nur die +7 weg gelassen, dann wäre das doch auch ok!?

Grundsätzlich ist das eine Abschätzung nach oben. Aber wie hast du das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_1^\infty~\frac{x^2+2x}{\sqrt{4x^8+3x}}\,\dx \end{eqnarray*}$

gelöst?

Mit meiner zuerst vorgeschlagenen Abschätzung kannst du das Integral sehr bequem lösen. Da wirst du feststellen, dass der Wert endlich ist

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16.06.2007, 15:56

Falken-Gesäß

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ich hab es mit deiner abschätzung gelöst.
den nenner hoch gebracht, daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty}~x^2+2x-2x^{-4}~dx \end{eqnarray*}$

wenn ich jetz integriere und dann unendlich in die grenzen einsetze, kommt doch auch unendlich heraus!?

16.06.2007, 16:29

Calvin

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Äh, den Nenner darfst du so nicht hochbringen geschockt

geschockt

Teile den Bruch in 2 Brüche auf. $\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c} \end{eqnarray*}$

16.06.2007, 17:36

Falken-Gesäß

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also ich hab jetz -8/9 raus, stimmt das???

16.06.2007, 18:51

WebFritzi

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Der Wert des Integrals ist auf deutsch gesagt scheißegal. Du sollst nur zeigen, dass es existiert. Dabei benutzt du das Majorantenkriterium. Schätze dazu den Integranten nach oben gegen $\begin{eqnarray*} \frac{c}{x^2} \end{eqnarray*}$ mit einer positiven Konstanten c ab. Dazu hat Calvin dir bereits eine Hilfestellung gegeben. Ich gebe dir noch einen Tipp: auf deinem Integrationsintervall gilt 2x <= 2x^2.

16.06.2007, 19:09

Falken-Gesäß

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aja, und wenn ich einen wert heraus bekomme, dann existiert das integral!?

16.06.2007, 19:21

Dual Space

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Ja.

16.06.2007, 19:26

WebFritzi

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Zitat:

Original von Falken-Gesäß
aja, und wenn ich einen wert heraus bekomme, dann existiert das integral!?

Ja, aber danach ist hier nicht gefragt, und ich bezweifle auch, dass du einen herausbekommst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.06.2007, 19:28

Falken-Gesäß

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ich hätte doch eigentlich auch das minorantenkriterium anwenden können!? wo genau liegt denn da der unterschied bzw. woran erkenne ich welches kriterium sinvoller ist?

16.06.2007, 19:29

WebFritzi

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Zitat:

Original von Falken-Gesäß
ich hätte doch eigentlich auch das minorantenkriterium anwenden können!?

Nein, denn das verwendet man, um die DIVERGENZ (bzw. NICHTEXISTENZ) eines Integrals zu beweisen. Dein Integral hier KONVERGIERT (bzw. EXISTIERT) aber.

EDIT: Du hast die Aufgabe noch immer nicht gelöst...

16.06.2007, 21:30

Falken-Gesäß

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ja doch, ich hab das integral in 2 brüche aufgeteilt, mit der summenregel integriert und -8/9 heraus bekommen.

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty}~ \frac{x^{2}}{\sqrt{4x^8}}~dx+\int_{1}^{\infty}~ \frac{2x}{\sqrt{4x^8}}~dx = \int_{1}^{\infty} x^2*(-2x^{-4}) + \int_{1}^{\infty} 2x*(-2x^{-4}) .... = - \frac{8}{9} \end{eqnarray*}$

wieso, was sollte denn heraus kommen?

16.06.2007, 22:43

WebFritzi

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Es kommt 5/2 raus, aber es geht wie gesagt nicht um den Wert. Du sollst abschätzen und dann das Majoranten-Kriterium verwenden!

17.06.2007, 20:29

Falken-Gesäß

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ok, das mit dem kriterium hab ich verstanden.
ich komm abba net auf das scheiß ergebnis.
wie bist du vorgegangen nach dem aufteilen in 2 brüche?

17.06.2007, 20:53

WebFritzi

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Das sag ich dir, nachdem du hier bewiesen hast, dass du das mit dem Kriterium verstanden hast, indem du einfach mal dessen Anwendung vormachst.

17.06.2007, 21:13

Falken-Gesäß

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Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty}~\frac{1}{x*e^x}~dx \leq \int_{1}^{\infty}~\frac{1}{e^x}~dx ... = \frac{1}{e}\Rightarrow \end{eqnarray*}$ Das Integral existiert.

Ich hab hier jetz ein Integral abgeschätzt, das minimal größer ist als das alte und bewiesen das es existiert, das sehe ich daran, das ein Wert heraus kommt, ansonsten wäre es divergent.

17.06.2007, 21:25

WebFritzi

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Ich meinte aber das hiesige Integral. Du sollst dabei nur verwenden, dass

$\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx \end{eqnarray*}$

existiert.

17.06.2007, 21:52

Falken-Gesäß

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Sorry, das peil ich jetz net. was soll ich mit dem I= 1/x^2 dx machen?

18.06.2007, 08:38

klarsoweit

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RE: Integral
Um da mal wieder eine klare Linie reinzubringen. Mit der von Calvin vorgeschlagenen Abschätzung hast du folgende Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} 0 \leq \int_{1}^{\infty}~\frac{x^2+2x-3}{\sqrt{4x^8+3x+7}}~dx \leq \int_{1}^{\infty}~\frac{x^2+2x}{\sqrt{4x^8}}~dx = \int_{1}^{\infty}~\frac{x^2}{2x^4}~dx + \int_{1}^{\infty}~\frac{2x}{2x^4}~dx \end{eqnarray*}$

Und wenn du auf die beiden letzten Integrale die Potenzgesetze und Integralregeln richtig anwendest, dann solltest du auch ein vernünftiges Ergebnis erhalten.

18.06.2007, 11:59

Falken-Gesäß

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$\begin{eqnarray*} [\frac{-1}{3} x^{3}*(- \frac{2}{3} x^{-3})]+[ x^{2}*( \frac{-2}{3} x^{-3}] \end{eqnarray*}$ ...

wenn ich da jetz 1 einsetze, kommt -8/9 raus!

Was hab ich hier noch falsch gemacht?

18.06.2007, 12:06

klarsoweit

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Du hast offensichtlich große Schwierigkeiten, die richtige Stammfunktion zu bilden.

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{3} x^{3}*(- \frac{2}{3} x^{-3}) \end{eqnarray*}$ ist z. B. keine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{2x^4} \end{eqnarray*}$ wie man leicht nachrechnet. Ich hatte extra auch gesagt, erst Potenzregeln anwenden (also Bruch kürzen).

18.06.2007, 15:59

WebFritzi

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@klarsoweit: Na gut, dann rechnet ihr jetzt doch. Ich wollte eigentlich, dass er das Integral, welches in deiner Unleichungskette in der Mitte steht, abschätzt durch das von c/x^2 mit einer Konstanten c. Man braucht hier nicht zu rechnen. Aber das scheint ja trotzdem eine gute Übung für das Falken-Gesäß zu sein... Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.06.2007, 19:16

Falken-Gesäß

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Es kann doch net war sein das ich tagelang an so ner Aufgabe rum rechne. Hier noch mal meine Schritte:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty}~ \frac{x^2}{2x^4}~dx+\int_{1}^{\infty}~\frac{2x}{2x^4}~dx \Rightarrow \int_{1}^{\infty}~ \frac{1}{2x^2}~dx+ 2*\int_{1}^{\infty}~\frac{1}{2x^3}~dx \Rightarrow [-\frac{1}{2x}]+ 2*[- \frac{1}{4x^2}] = -1 \end{eqnarray*}$

Wo ist der Fehler???

18.06.2007, 20:54

WebFritzi

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Erstens sind die Pfeile falsch. Dahin gehören Gleichheitszeichen. Zweitens gehören am Ende Grenzen an die Klammern. Die letzte Gleichheit stimmt nicht.

18.06.2007, 20:59

Falken-Gesäß

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Ja und was ist falsch? Hab die Konstante 2 vor gezogen und 1/2x^3 Integriert ergibt doch -1/4x^2 oder net?

18.06.2007, 21:09

WebFritzi

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Ich habe vom letzten Gleichheitszeichen gesprochen (mal ganz davon abgesehen, dass es bei dir nur eins gibt Big Laugh

Big Laugh

).

18.06.2007, 21:17

Falken-Gesäß

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-1/2 + 2*[-1/4] gibt -1!

Sag mir doch bitte einfach was falsch ist. Hab ich ein Fehler beim Integrieren gemacht?

18.06.2007, 21:18

WebFritzi

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Zitat:

Original von Falken-Gesäß
Sag mir doch bitte einfach was falsch ist.

Das habe ich bereits. Und ich wiederhole es: Das letzte Gleichheitszeichen stimmt nicht.

18.06.2007, 21:27

Falken-Gesäß

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vielleicht $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ -1 ???

18.06.2007, 21:49

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} \neq -1 \end{eqnarray*}$ wäre besser.

18.06.2007, 21:52

Falken-Gesäß

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na toll, dann is ja doch irgendwas schief gegangen beim rechnen!?

18.06.2007, 21:55

WebFritzi

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Ja, offenbar. Um dir das Leiden zu ersparen: es ist alles richtig bis eben auf das -1. Das ist falsch.

18.06.2007, 22:05

Falken-Gesäß

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$\begin{eqnarray*} [-\frac{1}{2x}]_{1}^\infty+ 2*[- \frac{1}{4x^2}]_{1}^\infty \end{eqnarray*}$ = 3/2???

18.06.2007, 22:12

WebFritzi

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So wie ich das sehe ist das wieder falsch. Aber wenigstens hast du jetzt schonmal die Grenzen hingeschrieben. Rechne mal vor. Obere Grenze eingesetzt minus untere Grenze eingesetzt. Und beachte die MINUSKLAMMER.

18.06.2007, 22:26

Falken-Gesäß

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$\begin{eqnarray*} ...=[- \frac{1}{2*\infty}-(- \frac{1}{2*1})] +2*[-\frac{1}{4*\infty^2}-(- \frac{1}{4*1^2})]=[0-(- \frac{1}{2})]+2*[0-(- \frac{1}{4})] = \frac{1}{2}+2* \frac{1}{4}= 1 ?? \end{eqnarray*}$

18.06.2007, 22:29

WebFritzi

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Na endlich. Freude

Freude

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