Nachhilfe in Stetigkeit

20.01.2005, 13:05	Schusterjunge	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachhilfe in Stetigkeit Hallo Leute. Ich hab mal ne frage zur Definition der stetigkeit reeller Funktionen. Also die Definition ist ja: Die Funktion $\begin{eqnarray} f : X \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ heißt stetig an der Stelle $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ ihres Definiotionsbereichs : $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \;\; \exists \delta > 0 : \left\| f(x) - f(x_0) \right\| < \varepsilon \end{eqnarray}$ für alle x mit $\begin{eqnarray} \|x-x_0\| < \delta \end{eqnarray}$ mit x aus X. Kann das jemand für mich bitte einmal etwas einfacher formulieren. Grüße
20.01.2005, 13:10	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
im prinzip läuft es auf folgerndes hinaus: wenn sich der x-wert x0 nähert, dann muss sich auch der f(x)wert dem f(x0)wert nähern. das ist mathematisch nicht so elegant ausgedrückt, aber vielleicht hilfts dir ja! mfg jochen
20.01.2005, 17:32	Schusterjunge	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja soweit so gut und erstmal danke für die Antwort. Mein Problem dabei ist aber noch, dass sich alles auf variable wie $\begin{eqnarray} \varepsilon , \delta \end{eqnarray}$ bezieht. Wie kann ich etwas festlegen, was nur auf Variablen beruht???? Grüße
20.01.2005, 18:18	braindeadt	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sind eigentlich auch keine Variablen sondern Platzhalter für belibig kleine Zahlen beliebig heist das sie zwar freigewählt werden können aber fest sind in diesem Fall. Und ähnlich wie bei der Definition des Grenzwertes wo man sagt: Ein Grenzwert ist der Funktionswert für den unendlich viele weitere Funktionswerte in der epsilon-Umgebung um den als Grenzwert angenommenen Wert liegen. D.h. egal wie klein man Epsilon wählt man findet immer unendlich viele Funktionswerte in der Umgebung (die eben die größe epsilon hat) um den Grenzwert. Oder anders ausgedrückt im Fall des Grenzwertes ist epsilon der Platzhalter für den Breich oder Abstand um einen Grenzwert herrum und egal wie klein man diesen Abstand wählt man findet immer unendlich viele weitere Funktionswerte in diesem Bereich. (sofern der grenzwert existiert natürlich) Und bei der Stetigkeit ist es ähnlich man sagt FÜR ALLE epsilon (in diesem Fall wieder ein Abstand zwischen 2 Zahlen genauer dem Funktionswert von x0 der Stelle an welcher die Stetigkeit nachgewiesen werden soll und einem belibigen weiterem Funktionswert von x) also egal wie groß und auch egal wie klein (also auch extrem klein) man es auch wählt man findet immer ein delta (wieder ein abstand) größer als 0 welches größer ist als der Abstand zwischen den beiden x-werten (der Funktionswerte). du kannst dir das deutlich machen an dieser Funktion: F(x) := f(x)=5 für x <=5 und f(x)=20 für alle x > 5 diese Funktion ist nicht stetig an der stelle x0=5 denn wenn du ein epsilon definierst z.b. 0,000001 und versuchts die stetigkeit an der stelle x0=5 nachzuweisen dann wirst du feststellen dass dieses Epsilon kleiner ist als der Abstand zwischen F(x=5) und F(x>5) denn der Abstand ist ja mind. 15 also wirst du für dieses definierte Epsilon (also 0,000001) kein Delta finden denn du hast ja nichtmal einen x-Wert > 5 gefunden der den Abstand von kleiner als 0,000001 von der stelle x0=5 hat und um ein Delta zu finden brauchst du erstmal einen 2ten X-wert (also neben x0=5) damit du erstmal einen Abstand ermitteln kannst der dann kleiner sein muss als Delta.
21.01.2005, 00:19	Schusterjunge	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo dank Euch! Ich denk ich habs jetzt. Gruß

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