Parameterdarstellung?

16.06.2007, 19:45

Kiki

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Parameterdarstellung?

Eine ebene Kurve sei durch die Parameterdarstellung

$\begin{eqnarray*} x(t) = 2 \cos(t) + \cos(2t) \end{eqnarray*}$ (1)

$\begin{eqnarray*} y(t) = 2\sin(t) - \sin(2t) \end{eqnarray*}$ (2)

$\begin{eqnarray*} 0\leq t\leq \frac{2}{3} \pi \end{eqnarray*}$

gegeben.

a.) Man gebe den Anfangspunkt A und den Endpunkt B der Kurve an.

b.) Bestimmen sie den Schnittpunkt mit der y-Achse

c.) Berechnen sie $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{d²y}{dx^2} \end{eqnarray*}$ jeweils an der Stelle x=0.

Hi meine Frage wie wandle ich Gleichung 1 um damit ich sie in 2 einsetzen kann, komme da nicht weiter. Bzw mir ist die Aufgabe nicht ganz klar!

Danke

16.06.2007, 19:47

Dual Space

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RE: Parameterdarstellung?
Wenn du in die erste Gleichung t=0 einsetzt, erhältst du die x-Koordinate des gesuchten Anfangspunktes.

Zitat:

Original von Kiki
Hi meine Frage wie wandle ich Gleichung 1 um damit ich sie in 2 einsetzen kann, ...

Das geht nicht!

16.06.2007, 19:51

Kiki

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aja und wieso setze ich t=0 ein?

aber das Prinzip ist ja die eine gleichung umstellen und dann in die andere einsetzen damit ich nur noch eine habe oder?

16.06.2007, 19:55

Kiki

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oder wie geht man bei sowas allgemein vor?

16.06.2007, 20:05

Dual Space

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Lies dir den Wiki-Artikel erstmal durch. Frag dann noch mal, falls was unklar ist.

16.06.2007, 20:29

WebFritzi

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Anfangs- und Endpunkt der Kurve sind einfach die Punkte, die sich ergeben, wenn man die Endpunkte des gegebenen Intervalls für t einsetzt. Ganz simpel.

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16.06.2007, 23:23

mYthos

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b.

Ermittle jenes t, für welches y(t) = 0 ist (für jeden Punkt auf der x-Achse ist sein y = 0)

c.

Benütze

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd y}{\dd x} = \frac{\frac{\dd y}{\dd t}}{\frac{\dd x}{\dd t}} \end{eqnarray*}$

mY+

16.06.2007, 23:43

WebFritzi

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@mythos: Es war aber nach dem Shnittpunkt mit der y-Achse gefragt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.06.2007, 09:32

Leopold

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für c) siehe auch hier

17.06.2007, 10:36

Kiki

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Guten morgen also die a) habe ich rausgekriegt:

A(3/0) B(-1,5/2,598)

b) habe ich keine Ahnung

und c) muss ich soweit ich das richtig verstanden habe x(t) 2 x ableiten und y(t) auch oder ? und dann in die Ableitungen jeeweils x=0 einsetzen oder?

Kann man sich die Funktion hier irgendwo mal zeichnen lassen?

17.06.2007, 11:31

WebFritzi

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Was für eine Gleichung muss denn in (b) gelöst werden?

Vielleicht ist dir noch nicht klar, was das Ding überhaupt ist. Für jedes t aus deinem Intervall ist (x(t),y(t)) ein Punkt im IR^2. Diese Punkte werden nun sozusagen miteinander verbunden, und es ergibt sich eine Kurve. Nun sollst du in (b) schauen, für welches t der Punkt (x(t),y(t)) auf der y-Achse liegt. Was muss denn dann gelten?

17.06.2007, 11:32

Leopold

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Zitat:

Original von Kiki
und c) muss ich soweit ich das richtig verstanden habe x(t) 2 x ableiten und y(t) auch oder ? und dann in die Ableitungen jeeweils x=0 einsetzen oder?

Zitat:

Original von Leopold
für c) siehe auch hier

Zitat:

Original von Kiki
Kann man sich die Funktion hier irgendwo mal zeichnen lassen?

Man kann $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ übrigens auch in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ angeben - ist aber ziemlich häßlich:

$\begin{eqnarray*} y = f(x) = \frac{1}{2} \left( 3 - \sqrt{2x + 3} \right) \sqrt{2 \left( \sqrt{2x + 3} - x \right)} \end{eqnarray*}$

17.06.2007, 11:56

Kiki

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für b.) Gleichung x muss 0 ergeben!

und für c) siehe hier hilft mir nicht viel weiter! :-)

17.06.2007, 12:07

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} f''(x) = \frac{\ddot{\psi}(t) \cdot \dot{\varphi}(t) - \dot{\psi}(t) \cdot \ddot{\varphi}(t)}{\left( \dot{\varphi}(t) \right)^3} \end{eqnarray*}$

Und wem es gefällt, der mag jetzt statt $\begin{eqnarray*} f''(x) \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} y'' \end{eqnarray*}$ schreiben, die Funktionsbezeichner mit ihren abhängigen Variablen zusammenschmeißen und ansonsten die Variablen unterdrücken:

$\begin{eqnarray*} y'' = \frac{\dot{x} \cdot \ddot{y} - \ddot{x} \cdot \dot{y}}{\dot{x}^{\, 3}} \end{eqnarray*}$

Über die Gefährlichkeit dieser Simplifizierung habe ich mich oben schon geäußert. Man muß eine solche Formel eben zu lesen wissen.

17.06.2007, 13:19

WebFritzi

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@kiki: Wenn du nicht schreibst, wo genau deine Probleme liegen, kann dir auch nicht geholfen werden.

17.06.2007, 14:10

Kiki

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Also für Teilaufgabe b:

Schnittpunkt mit y Achse d.h x=0

meine Frage setze ich dann x(t) = 0?

und bei c)

bilde ich erstmal die ersten beiden Ableitungen von x(t) und y(t)

soweit erstmal richtig oder brauch ich die abl gar nicht?

17.06.2007, 14:26

Leopold

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Zitat:

Original von Kiki
meine Frage setze ich dann x(t) = 0?

Ja. Beachte für die Rechnung die bekannte Formel $\begin{eqnarray*} \cos(2t) = 2 \cos^2{t} - 1 \end{eqnarray*}$ und substituiere $\begin{eqnarray*} u = \cos{t} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Kiki
und bei c)

bilde ich erstmal die ersten beiden Ableitungen von x(t) und y(t)

soweit erstmal richtig oder brauch ich die abl gar nicht?

siehe den Beitrag von mYthos und den von mir wiederholt angegebenen Link

17.06.2007, 14:42

Kiki

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also b habe ich rausgekriegt! gibt ja zwei lösungen aber die eine ist ja nicht mehr im Def bereich! und mit dem wiederholt angegebenen link kann ich echt nichts anfangen!

Meine Frage war einfach ob das richtig ist wenn ich x(t) ableite und y(t) ableite und da dann null einsetze

Danke schonmal

17.06.2007, 18:07

WebFritzi

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Zitat:

Original von Kiki
Meine Frage war einfach ob das richtig ist wenn ich x(t) ableite und y(t) ableite und da dann null einsetze

Ja, so ist es. Du musst die beiden Werte dann natürlich noch durcheinander teilen, wie mYthos das geschrieben hat.

Uuups, ne doch nicht. Du musst dann für t den Wert einsetzen, den du in (a) berechnet hast, denn du sollst ja dy/dx an der Stelle x = 0 (und nicht t = 0) berechnen.

17.06.2007, 18:09

Leopold

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Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von Kiki
Meine Frage war einfach ob das richtig ist wenn ich x(t) ableite und y(t) ableite und da dann null einsetze

Ja, so ist es. Du musst die beiden Werte dann natürlich noch durcheinander teilen, wie mYthos das geschrieben hat.

VORSICHT! Es ist derjenige $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ -Wert einzusetzen, der $\begin{eqnarray*} x(t) = 0 \end{eqnarray*}$ liefert.

EDIT
Er hat's gemerkt.

17.06.2007, 18:13

WebFritzi

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Big Laugh

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