mal wieder Konvergenz :(

Neue Frage »

20.01.2005, 13:25	Dryandra	Auf diesen Beitrag antworten »
mal wieder Konvergenz :( Hi Leute Hab Probleme bei folgenden aufgaben: 1) Konvergiert die Riehe $\begin{eqnarray} \sum_{n=2}^\infty \in\ ~\frac{1}{n log n} ? \end{eqnarray}$ 2)Zeigen sie dass das Integral $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty}~\frac{sin x}{x} ~dx \end{eqnarray}$ konvergiert, aber nicht absolut konvergiert Bitte helft mir
20.01.2005, 21:32	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hoffe ich habe mich bei der zweiten nicht auch verrechnet, ich habe nämlich beim Tippen gemerkt das meine Idee für erstens nicht funktioniert. für die zweite kann man erstmal das Integral in die Bereiche [0,1] und [1, unendlich [ zerlegen, da sinx/x gegen 1 für x gegen 0 (das muss man noch zeigen, zB mit l'Hopital) ist der erste Teil beschränkt und damit unproblematisch. Für das zweite Intervall partiell integrieren, dabei sinx aufleiten und 1/x ableiten. Das Integral cosx/x² kann man dann durch 1/x² abschätzen und das konvergiert.
20.01.2005, 22:02	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: mal wieder Konvergenz :( Bei 1) kann $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx}\left(\log\log x\right) = \frac{1}{x\log x} \end{eqnarray}$ hilfreich sein.
20.01.2005, 23:34	MisterSeaman	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich hab mich mal an der 1) versucht. Ich betrachte Teilsummen $\begin{eqnarray} \sum_{i=10^n}^{10^m} \frac{1}{\log(i) i} = \frac{1}{n 10^n} + \frac{1}{log(10^n+1) (10^n+1)} + ... + \frac{1}{m 10^m} \end{eqnarray}$ Die Terme $\begin{eqnarray} \frac{1}{log(10^n+1) (10^n+1)} +...+ \frac{1}{(n+1)10^{n+1}} \end{eqnarray}$ lassen sich abschätzen durch $\begin{eqnarray} \frac{1}{log(10^n+1) (10^n+1)} +...+ \frac{1}{(n+1)10^{n+1}} > \frac{10^{n+1}-10^n}{(n+1) (10^{n+1})} \end{eqnarray}$ Kürzen und ein Vergleich mit der harmonischen Reihe liefert dann die Divergenz.
20.01.2005, 23:42	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde eher sagen $\begin{eqnarray} \frac{1}{\log(10^n+1)\cdot (10^n+1)} +...+ \frac{1}{(n+1)10^{n+1}} > \frac{10^{n+1}-10^n}{(n+1) (10^{n+1})} =\frac{9}{10(n+1)} \end{eqnarray}$ aber das änert nichts prinzipiell am Erfog deiner Idee.
21.01.2005, 00:01	MisterSeaman	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups, ja genau. Danke. Wie funktioniert das denn mit der Ableitung? Da steig ich irgendwie nicht dahinter...
Anzeige

21.01.2005, 13:52	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{x\log x} \end{eqnarray}$ ist im Intervall $\begin{eqnarray} (1,\infty) \end{eqnarray}$ monoton fallend. Also kann man eine Integralabschätzung nach unten für die Partialsummen vornehmen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=2}^N \frac{1}{n\log n}\geq \int\limits_2^{N+1} \frac{dx}{x\log x}=\log\log(N+1)-\log\log 2\to+\infty\quad \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \;N\to\infty \end{eqnarray}$ . Aber deine Variante ist elementarer.
21.01.2005, 14:25	MisterSeaman	Auf diesen Beitrag antworten »
Na dafür ist die etwas kürzer. Eigentlich logisch...
21.01.2005, 15:53	gast	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab noch ein schönen weg gefunden, einfach Quotientenkriterium anwenden und dann abschätzen: $\begin{eqnarray} \frac{\|a_{n+1}\|}{\|a_n\|} = \frac{n \log(n)}{n * \log(n+1)+\log(n+1)} \le \frac{\log(n)}{2 * \log(n+1)} \le \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
21.01.2005, 16:05	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
irgendwas stimmt jetzt nicht. Weiter oben hatten wir Divergenz. Mit dem Quotientenkriterium jetzt plötzlich Konvergenz. Ehrlich gesagt habe ich auch nicht die Abschätzung verstanden.
21.01.2005, 16:10	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Abschätzung ist auch schlichtweg falsch. Nach dieser Abschätzung wäre gast also von der Ungleichung $\begin{eqnarray} n\log(n)\leq \log(n) \end{eqnarray}$ überzeugt. Die ist für genügend große n natürlich falsch.
21.01.2005, 16:11	MisterSeaman	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich fürchte, die Abschätzung klappt so nicht. Gegenbeispiel: n=10^10 Ich fürchte weiter, das Quotientenkriterium ist nicht anwendbar, weil $\begin{eqnarray} \frac{\|a_{n+1}\|}{\|a_n\|} \end{eqnarray}$ gegen 1 geht.
21.01.2005, 16:38	gast	Auf diesen Beitrag antworten »
ihr habt natürlich recht, ich weiss nicht was mich da geritten hat ...

Neue Frage »

Antworten »

mal wieder Konvergenz :(

Verwandte Themen