Abbildung der Einheitskugel - Diffeomorphismus

17.06.2007, 12:35

Dr. Logik

Abbildung der Einheitskugel - Diffeomorphismus

Hallo zusammen!

Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Man zeige, dass die Abbildung der Einheitskugel im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f:B_1(0) \rightarrow \mathbb{R}^n, f(x)= \dfrac{x}{\sqrt{1-|x|^2}} \end{eqnarray*}$

ein Diffeomorphismus ist (direkt durch Angabe der Umkehrabbildung). Geben Sie die Funktionalmatrix $\begin{eqnarray*} D_f(x) \end{eqnarray*}$ an (für allgemeines n) und berechnen Sie die Funktionaldeterminaten von f im Fall n=2,3.

Zunächst erst einmal zur Umkehrabbildung:

Unsere Übungsleiterin meinte wir sollten zunächst versuchen, den Betrag im Nenner wegzubekommen und dafür die Gleichung quadrieren und dann nach |x|² hin ordnen. Mir leuchtet aber dieser Schritt überhaupt nicht ein. Kann ich denn nicht die Gleichung einfach so umformen, damit ich keinen Betrag habe:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1-(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)}}=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} \end{eqnarray*}$ ???

Und wie bilde ich nun von einer mehrdimensionalen Funktion überhaupt die Umkehrfunktion?

Wäre echt nett, wenn mir hierbei jemand weiterhelfen könnte...

Viele Grüße, Dr. Logik

17.06.2007, 13:09

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde zunächst nur den 1-dimensionalen Fall (!) betrachten. Fasse also $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ als gewöhnliche reelle Variable auf. Die Striche sind daher gewöhnliche Betragsstriche:

$\begin{eqnarray*} y = \frac{x}{\sqrt{1 - |x|^2}} \end{eqnarray*}$

Löse diese Gleichung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auf. Dann würde ich vom Ergebnis her versuchen zu erraten, wie die Lösung im mehrdimensionalen Fall lauten könnte. Diese Lösung wäre dann noch zu verifizieren.

17.06.2007, 13:44

Dr. Logik

Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich das zunächst im 1-dim. Raum betrachte, erhalte ich, wenn ich die Gleichung nach x hin auflöse:

$\begin{eqnarray*} x=\dfrac{y}{\sqrt{1+y^2}} \end{eqnarray*}$

als nächstes würde ich die Umkehrabbildung bilden, indem ich x und y vertausche und erhalte somit als Umkehrabbildung:

$\begin{eqnarray*} y=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste ich das ganze aber noch für den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ lösen.

Und da tritt wieder meine Frage von vorhin auf. kann ich denn nicht einfach so umformen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1-(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)}}= \text{Anwenden des Skalarprodukts} \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} \end{eqnarray*}$ ???

Dann würde ich auch im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ die Lösung:

$\begin{eqnarray*} y=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \end{eqnarray*}$

als Umkehrabbildung erhalten. Stimmt das so? Und ist damit bewiesen, dass es ein Diffeomorphismus ist?

17.06.2007, 14:20

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde bei der Bestimmung der Umkehrfunktion die Variablen nicht vertauschen. Solange man im selben Kontext arbeitet, sollte man das auch nicht tun. Wenn $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist, schreibe besser so:

$\begin{eqnarray*} y = f(x) \ \ \Leftrightarrow \ \ x = g^{-1}(y) \end{eqnarray*}$

Jetzt zum eigentlichen Problem. Wenn man im Eindimensionalen

$\begin{eqnarray*} y = f(x) = \frac{x}{\sqrt{1 - |x|^2}} \end{eqnarray*}$

nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auflöst, erhält man in der Tat

$\begin{eqnarray*} x = g(y) = \frac{y}{\sqrt{1 + y^2}} \end{eqnarray*}$

Hast du dabei auch an alles gedacht? Zum Beispiel an Fallunterscheidungen beim Auflösen von Quadraten? Wie auch immer - selbst wenn die Herleitung auf wackligen Füßen steht, kann man das Ergebnis dennoch ohne große Mühe auf Richtigkeit überprüfen. Denn eine Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist genau dann die Umkehrfunktion einer Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} g \circ f = \operatorname{id} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \circ g = \operatorname{id} \end{eqnarray*}$ gelten (das erste $\begin{eqnarray*} \operatorname{id} \end{eqnarray*}$ ist natürlich die Identität auf dem Definitionsbereich von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , das zweite auf dem von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ). In Variablen ist also Folgendes nachzuweisen:

$\begin{eqnarray*} \text{(*)} \ \ \ f \left( g(y) \right) = y \ \ \text{und} \ \ g \left( f(x) \right) = x \end{eqnarray*}$

Natürlich ist jeweils zu überprüfen, daß alle Ausdrücke definiert sind, insbesondere daß die Verkettungen möglich sind. Und genau so kannst du das auch mit den obigen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ machen (tu das!). Dann hast du tatsächlich nachgewiesen, daß sie Umkehrungen voneinander sind.

Im Mehrdimensionalen kann die Formel für $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ oben nicht stimmen, einfach weil es dort kein $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ gibt (jedenfalls keines im üblichen Sinn). Es ist aber nur eine leichte Änderung vorzunehmen. Dann kannst du den Beweis von $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ quasi übernehmen.

17.06.2007, 15:05

Dr. Logik

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schon mal für die ausführlichen Erklärungen!

Ich habe den Beweis

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \text{(*)} \ \ \ f \left( g(y) \right) = y \ \ \text{und} \ \ g \left( f(x) \right) = x \end{eqnarray*}$

für Variabeln jetzt hinbekommen. Somit habe ich also gezeigt, dass im 1-dim. die Umkehrabbildung von f(x)

$\begin{eqnarray*} x = g(y) = \frac{y}{\sqrt{1 + y^2}} \end{eqnarray*}$

ist. Somit existiert also die Umkehrabbildung, f(x) ist daher bijektiv, und da g(x) genausooft diffbar ist wie f(x) ist f(x) somit ein Diffeomorphismus. Stimmt das?

Jetzt muss ich ja das ganze noch für n-dim durchführen.

Zitat:

Im Mehrdimensionalen kann die Formel für $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ oben nicht stimmen, einfach weil es dort kein $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ gibt (jedenfalls keines im üblichen Sinn). Es ist aber nur eine leichte Änderung vorzunehmen.

Ok, ich meinte mit y² eigentlich das skalarprodukt von (y,y). Wäre es dann richtig oder sollte ich es als |y|² stehen lassen?

17.06.2007, 18:06

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Schreibe $\begin{eqnarray*} |y|^2 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ . Dann kannst du die Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ für einen Vektor (!) $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ so definieren, daß sie äußerlich genau so aussieht wie im eindimensionalen Fall. Wer will dir das verbieten?

Wenn du es geschickt anstellst, kannst du den Beweis aus dem Eindimensionalen wortwörtlich auf das Mehrdimensionale übertragen (es kommt darauf an, wie du jenen Beweis genau gestaltet hast). Du mußt nur aufpassen, daß du nur mit Skalaren multiplizierst und dividierst und nicht einen Unsinn fabrizierst wie etwa die Division durch einen Vektor.

Mit den beiden Beziehungen $\begin{eqnarray*} g \circ f = \operatorname{id} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \circ g = \operatorname{id} \end{eqnarray*}$ ist dann alles gezeigt - ein vollständig gültiger Beweis! Daß du $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ gar nicht richtig hergeleitet, sondern durch Analogiebildung aus dem eindimensionalen Fall gewonnen hast - wen oder was stört es?

17.06.2007, 22:14

Dr. Logik

Auf diesen Beitrag antworten »

ich versuche mal zunächst mit der Umkehrabbildung bei Vektoren:

Also es gilt:

$\begin{eqnarray*} y=\dfrac{x}{\sqrt{1-|x|^2}}\Leftrightarrow |y|^2=\dfrac{|x|^2}{1-|x|^2} \Leftrightarrow |y|^2-|y|^2|x|^2=|x|^2 \Leftrightarrow |x|^2(1+|y|^2)=|y|^2 \Leftrightarrow |x|^2=\dfrac{|y|^2}{1+|y|^2} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe mal, dass das soweit stimmt. Hab das jetzt mehr oder weniger analog zum 1-dim. gemacht, nur dass ich halt die euklidische Norm benutzt habe. Jetzt weiß ich aber auch schon nicht mehr weiter. Wie forme ich das denn jetzt nach x um? Einfach Wurzelziehen ist ja hier wohl nicht, da ich ja dann |x| herausbekäme und nicht x. Habe ich also einen Fehler gemacht oder fehlt einfach nur noch ein Schritt, den ich grad übersehe?

17.06.2007, 23:19

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Noch ein Versuch!

Wir definieren die Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ für gewisse Elemente $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ , und zwar durch

$\begin{eqnarray*} y = f(x) = \frac{x}{\sqrt{1 - |x|^2}} \ \ \mbox{für} \ |x| < 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = g(y) = \frac{y}{\sqrt{1 + |y|^2}} \ \ \mbox{für} \ y \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$

Beide Funktionen sind sinnvoll definiert. Ferner gilt

$\begin{eqnarray*} |g(y)| = \frac{|y|}{\sqrt{1 + |y|^2}} < 1 \end{eqnarray*}$

Damit ist die Verkettung $\begin{eqnarray*} f \circ g \end{eqnarray*}$ definiert (die Verkettung $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ ist es sowieso).

Und jetzt berechne $\begin{eqnarray*} f \left( g(y) \right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \left( f(x) \right) \end{eqnarray*}$ . Das ist alles.

17.06.2007, 23:31

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Und zeige, dass f und g diffbar sind.

18.06.2007, 07:45

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von WebFritzi
Und zeige, dass f und g diffbar sind.

Ist doch eigentlich trivial. Aber wahrscheinlich sollte man zumindest darauf hinweisen ...

@ Dr. Logik

Du kannst es natürlich auch mit deiner Rechnung bewerkstelligen.
Wie funktioniert eigentlich $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ? Offenbar wird der Vektor $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit einem nur von $\begin{eqnarray*} |x|^2 \end{eqnarray*}$ abhängigen Skalar

$\begin{eqnarray*} \lambda(|x|^2) = \frac{1}{\sqrt{1 - |x|^2}} \end{eqnarray*}$

gestreckt:

$\begin{eqnarray*} y = f(x) = \lambda(|x|^2) \cdot x \end{eqnarray*}$

Für die Rückrechnung muß man also wieder durch diesen Skalar dividieren:

$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{\lambda(|x|^2)} \cdot y = \sqrt{1 - |x|^2} \cdot y \end{eqnarray*}$

Das Problem ist, daß man den Faktor zunächst nur in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ (dem Ziel der Umkehrung) und nicht in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ (dem Start der Umkehrung) dargestellt hat. Aber $\begin{eqnarray*} |x|^2 \end{eqnarray*}$ kannst du ja jetzt gemäß deiner letzten Rechnung durch den Ausdruck in $\begin{eqnarray*} |y|^2 \end{eqnarray*}$ ersetzen. Dann hast du es auch. Wenn es dir so lieber ist ...

18.06.2007, 11:35

Dr. Logik

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke Leopold und WebFritzi!

So langsam dämmert's auch mir Big Laugh

.

Das mit dem Beweis (*) bekomme ich jetzt hin. Jetzt sitze ich gerade an der Funktionalmatrix und bin mir (mal wieder) überhaupt nicht sicher, ob das so stimmt, wie ich es berechne. Wäre nett, wenn jemand mal überprüfen könnte, ob folgende Funktionalmatrix so richtig ist oder ob ich nen Fehler beim paritellen ableiten begangen habe. Also, ich habe folgende Funktionalmatrix erhalten:

$\begin{eqnarray*} D_f(x)= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{1-|x|^2}} - \dfrac{2x_1^2}{(1-|x|^2)^{1,5}} & \dfrac{-2x_2x_1}{(1-|x|^2)^{1,5}} & \cdots & \dfrac{-2x_nx_1}{(1-|x|^2)^{1,5}} \\ \dfrac{-2x_1x_2}{(1-|x|^2)^{1,5}} & \dfrac{1}{\sqrt{1-|x|^2}}-\dfrac{2x_2^2}{(1-|x|^2)^{1,5}} & \cdots & \dfrac{-2x_nx_2}{(1-|x|^2)^{1,5}} \\ \vdots & \cdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{-2x_1x_n}{(1-|x|^2)^{1,5}} & \cdots & \cdots & \dfrac{1}{\sqrt{1-|x|^2}}-\dfrac{2x_n^2}{(1-|x|^2)^{1,5}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe mal, dass sie so richtig ist.

Viele Grüße, Dr. Logik

18.06.2007, 17:09

Dr. Logik

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, die Funktionalmatrix ist so nicht richtig. Das hab ich mittlerweile eingesehen. Naja - werd ich schon hinbekommen.

Also nochmal danke Leopold!!!

18.06.2007, 17:19

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Verkettung, Addition, Multiplikation (falls Dimensionen passen) und Division (falls definiert) diffbarer Funktionen ist wieder diffbar.

18.06.2007, 19:15

Dr. Logik

Auf diesen Beitrag antworten »

Jupp, ist gut.
Und auch dir WebFritzi sei Dank Freude