Referat [Extremwertprobleme] - Seite 2

17.06.2007, 17:27

tigerbine

Nein, die Ableitung hat dort i.A. kein Min/Max. Vergleiche die geposteten Graphen zu dieser Aufgabe. Sie muss dort eine Nullstelle haben. Das ist notwendig, aber nicht hinreichend. Deswegen prüft man noch die zweite Ableitung.

17.06.2007, 17:45

Koala

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Zitat:

Original von tigerbine
Na ich habe mit a² multipliziert, damit der Bruch wegfällt. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} O'(a) = 4\cdot a - \frac{4000}{a^2} \stackrel{\mathrm{!}}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4\cdot a - \frac{4000}{a^2} =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4\cdot a^3 - 4000 =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^3 -1000=0 \end{eqnarray*}$

Wie hast du das genau gemacht? Weil wenn ich dann das a² multipliziere komme ich auf was anderes. Dann ziehe ich das a² rüber auf die rechte Seite usw.

17.06.2007, 17:48

tigerbine

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Ich hab das so gemacht wie es da steht... verwirrt

$\begin{eqnarray*} 4\cdot a - \frac{4000}{a^2} =0~| \cdot a² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4\cdot a\cdot a^2 - \frac{4000\cdot a^2}{a^2} =0\cdot a^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4\cdot a^3 - 4000 =0~|~:4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^3 -1000=0 \end{eqnarray*}$

17.06.2007, 17:52

Koala

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Zitat:

Original von tigerbine
Ich hab das so gemacht wie es da steht... verwirrt

Danke, jetzt erkenn ich's auch Freude

17.06.2007, 18:40

Airblader

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RE: Brauche Hilfe: Referat [Extremwertprobleme]

Zitat:

Original von tigerbine
Das ist sicher richtig. Aber ein gefährliches Schlussfolgerungsverfahren, sobald man die Schule verlässt. Augenzwinkern

Mag sein, aber noch befinden wir uns in dieser Ecke Augenzwinkern

Man muss ja nicht immer unnötig allgemein bleiben smile

air
(P.S.: Sorry, ist etwas verspätet! Big Laugh

)

17.06.2007, 18:47

tigerbine

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RE: Brauche Hilfe: Referat [Extremwertprobleme]
Das hatte nichts mit allgemein bleiben zu tun. Sondern damit die Lösung eines Problems "einfach" mit der Überschrift zu begründen, unter der das Problem gestellt wurde. Hoffentlich habt ihr gute Bücher und Lehrer. Big Laugh

17.06.2007, 18:47

Koala

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Also, ich fang jetzt mit der 2. Aufgabe an und werde meinen Lösungsweg soweit wie möglich dann auch hier posten.

17.06.2007, 19:10

Koala

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Zitat:

2.Wie muss man den Radius und die Höhe einer zylindrischen Dose vom Volumen V (250 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ cm³) wählen, damit die Oberfläche minimal wird?

Volumen= $\begin{eqnarray*} \pi *r^2*h \end{eqnarray*}$
Oberfläche= $\begin{eqnarray*} 2\pi *r^2+2\pi *r*h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 250\pi= \pi *r^2*h \end{eqnarray*}$

Sicher, dass die $\begin{eqnarray*} 250\pi \end{eqnarray*}$ kein Fehler ist? Muss da nicht vielleicht 250cm³ nur hin, ohne das PI?

17.06.2007, 19:22

tigerbine

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Geile Rückfrage. Du hast doch die Aufgaben... Woher sollen wir wissen ob mit oder ohne Pi... verwirrt

Und vielleicht ist jemand im Buch so nett, dass er es in Pi angibt. Dann fällt das nämlich aus den Rechnungen raus. Aber das wäre eine Schlussfolgerung in der Art, wie ich sie gegenüber Air "kritisiert" habe Big Laugh

17.06.2007, 19:25

Koala

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Hm ok. Ich frag mal morgen meinen Lehrer...mpf. die Aufgaben wurden von dieser Seite genommen und für mich ausgedruckt Klick

17.06.2007, 19:28

Airblader

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RE: Brauche Hilfe: Referat [Extremwertprobleme]

Zitat:

Original von tigerbine
Das hatte nichts mit allgemein bleiben zu tun. Sondern damit die Lösung eines Problems "einfach" mit der Überschrift zu begründen, unter der das Problem gestellt wurde. Hoffentlich habt ihr gute Bücher und Lehrer. Big Laugh

Haben wir. Und sind wir mal ehrlich ... ohne eine exakte Fragestellung kann die Antwort auf solche Fragen nahezu alles sein!

*Theoretisch* hätte man das "quadratische Prisma" schon interpretieren können wie er zunächst (wenn die Frage schon ungenau ist, dann können Bezeichnungen auch ungenau sein). Und dann muss man doch einfach die Logik zu Rate ziehen Augenzwinkern

air

17.06.2007, 19:34

tigerbine

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Dann wird das Pi wohl dazugehören. Da uns das Bild einer Dose vorgegeben wird, mutmaße ich, dass es sich um einen geraden Kreiszylinder handeln soll.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3f/Cylinder.svg/78px-Cylinder.svg.png

Wichtige Kenngrößen:

$\begin{eqnarray*} V = \pi \cdot r^2 \cdot h = A \cdot h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_O = A_{\mathrm {Mantel}} + 2 \cdot A_{\mathrm {Grundfl\ddot ache}} = 2 \pi r h + 2 \cdot \pi r^2 = 2 \pi \cdot r (h + r) \end{eqnarray*}$

Nun sind wir eigentlich wieder an dem gleichen Punkt wie bei Aufgabe 1. Volumen ist fix, Oberfläche soll minimal werden.

@Airblader:

In der Schule muss man oft auf diese Art der Logik zurückgreifen, mangels sauberer Fragestellungen. Und da sieht man mal wieder, dass die Schule nicht unbedingt auf das Leben vorbereitet. Augenzwinkern

17.06.2007, 19:48

Airblader

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Ich habe ja auch nie behauptet, dass man außerhalb der Schule solche Folgerungen ziehen sollte smile

Darum ja: Noch befinden wir uns in der Schule Augenzwinkern

Aber ich glaub wir sind uns irgendwie einig... Big Laugh

air

17.06.2007, 19:53

tigerbine

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Zitat:

Original von Airblader
Aber ich glaub wir sind uns irgendwie einig... Big Laugh

Wobei ich sagen muss, dass sich die Einteilung auf Schul und HS-Mathe des Forums nicht auf

Zitat:

airblader
Ich habe ja auch nie behauptet, dass man außerhalb der Schule solche Folgerungen ziehen sollte smile Darum ja: Noch befinden wir uns in der Schule Augenzwinkern

begründet. Augenzwinkern

17.06.2007, 20:15

Airblader

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Nein, meinte ich damit auch nicht. Ich meinte die imaginäre Ecke, welche sich aus der Aufgabenstellung ergibt smile

(Ob es die selbe Ecke ist, in die ich mich imaginär stelle, wenn ich falsch liege? Big Laugh

)

air

17.06.2007, 20:25

tigerbine

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Wenigstens kommst Du durch Quadrieren der Ecke wieder in die reelle Welt. nun ist aber mal wieder Koala am Zug, sonst müssen wir auf der Off-Topic-Bank Strafe sitzen Big Laugh

Koala, wie schaut's aus? Wink

18.06.2007, 12:17

Koala

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Zitat:

Original von tigerbine
Wenigstens kommst Du durch Quadrieren der Ecke wieder in die reelle Welt. nun ist aber mal wieder Koala am Zug, sonst müssen wir auf der Off-Topic-Bank Strafe sitzen Big Laugh

Koala, wie schaut's aus? Wink

Bin wieder da!
Fang gleich wieder an.
Habe die Lehrerin jetzt gefragt, sie meinte ich müsse das PI wegkürzen.

18.06.2007, 13:56

Koala

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So hab Hausaufgaben fertig und hab jetzt mit der 2. Aufgabe angefangen!

Zitat:

2.Wie muss man den Radius und die Höhe einer zylindrischen Dose vom Volumen V (250 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ cm³) wählen, damit die Oberfläche minimal wird?

Hab meinen Rechenweg eingescannt. Komme aber nicht weiter. Und zwar bekomme ich beim Radius -20 raus. Irgendwas stimmt nicht. Ich hoffe man kanns lesen.

http://img164.imageshack.us/img164/3505/matheprobgk5.jpg

18.06.2007, 14:01

klarsoweit

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Irgendwie stimmt deine 1. Ableitung nicht. Da hast du im 2. Summanden einen faktor 2pi verschlampert und die Ableitung von dem Bruch vergessen.

18.06.2007, 14:03

Koala

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ach mist! jetzt seh ich es auch Gott

ich rechne die nochmal durch! danke Prost

18.06.2007, 14:04

tigerbine

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Also Du solltest das schon mit dem Editor schreiben.

Die Anmerkung deiner Lehrerin, naja. Aber das würde nur auf meine Diskussion mit Air zurückführen. Auf die Frage ob gerade oder schiefer, was hat sie da gesagt?

18.06.2007, 14:20

Koala

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Wenn ich
$\begin{eqnarray*} Ao(r)= 2\pi *r^2+2\pi *250r^-1 \end{eqnarray*}$

ableite bekomme ich:
$\begin{eqnarray*} Ao'(r) = 4\pi r-1570r^-2 \end{eqnarray*}$

Bin mir aber unsicher....
@tigerbine
Oooh mist, das hatte ich nicht gefragt. Hatte ich vergessen unglücklich

@all: Bin kurz weg. Bin später wieder da und rechne weiter Lehrer

18.06.2007, 14:29

tigerbine

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Zitat:

tigerbine
Wichtige Kenngrößen:

$\begin{eqnarray*} V = \pi \cdot r^2 \cdot h = A \cdot h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_O = A_{\mathrm {Mantel}} + 2 \cdot A_{\mathrm {Grundfl\ddot ache}} = 2 \pi r h + 2 \cdot \pi r^2 = 2 \pi \cdot r (h + r) \end{eqnarray*}$

Das Volumen soll sein:

$\begin{eqnarray*} V=250\cdot \pi~\text{cm}^3 = \pi \cdot r^2\cdot h \end{eqnarray*}$

Damit folgt (wenn wir alle Einheiten in cm nehmen), und logisch folgern, dass r unh von 0 verschieden sind...

$\begin{eqnarray*} 250 = r^2\cdot h \Leftrightarrow h = \frac{250}{r^2} \end{eqnarray*}$

Dann setzt Du das in die Oberflächenformel ein:

$\begin{eqnarray*} A_O(r)=2 \pi \cdot r (\frac{250}{r^2} + r) =2\cdot \pi \cdot 250 \cdot \frac{1}{r} + 2 \cdot \pi \cdot r^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_O(r)=2\pi\cdot r^2 + 500\pi \cdot \frac{1}{r} \end{eqnarray*}$

18.06.2007, 16:53

Koala

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Zitat:

Original von tigerbine

$\begin{eqnarray*} Ao(r)=2\pi\cdot r^2 + 500\pi \cdot \frac{1}{r} \end{eqnarray*}$

1. Ableitung:
$\begin{eqnarray*} A'o(r)=4\pi*r-500*\pi*r^-2 \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} A'o(r)=4\pi*r+500*((-1)*\frac{1}{r^2}) \end{eqnarray*}$

Habe Probleme die Ableitung = Null zu setzen. Habs mehrmals probiert aber ich kriege nichts Gescheites raus ... traurig

18.06.2007, 17:52

Bjoern1982

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Multipliziere die Gleichung mit r². Das darst du bedenkenlos machen weil r=0 eh ausgeschlossen werden kann. Nachher solltest du die 3. Wurzel einer bestimmten Zahl ziehen...und es entsteht sogar eine schöne glatte Zahl Augenzwinkern

Gruß Björn

18.06.2007, 18:03

Koala

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Multipliziere die Gleichung mit r². Das darst du bedenkenlos machen weil r=0 eh ausgeschlossen werden kann. Nachher solltest du die 3. Wurzel einer bestimmten Zahl ziehen...und es entsteht sogar eine schöne glatte Zahl Augenzwinkern

Gruß Björn

ok mal ausprobieren!

18.06.2007, 18:25

Koala

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Ableitung = Null:

$\begin{eqnarray*} 0 = 4\pi*r-500*\pi*r^-2 | /4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = \pi*r-125*\pi*r^-2 | *r^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = \pi*r^3-125*\pi | /\pi | +125\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{125*\pi }{\pi} = r^3 \end{eqnarray*}$

PI wegkürzen und die 3. Wurzel ziehen

$\begin{eqnarray*} r=5 \end{eqnarray*}$

Dann schau ich in der 2. Ableitung um was es sich um eine Extremstelle handelt -> Ich bekomme heraus: 37,7 >0 Lokales Minimum.

Antwort: Der Radius muss 5cm betragen und die Höhe 10cm damit die Oberfläche minimal ist.

Ist alles mathematisch richtig, wie ich gerechnet habe?

18.06.2007, 18:26

tigerbine

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Sieht gut aus.

18.06.2007, 18:30

Koala

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Morgen mache ich dann die 3. Aufgabe. Muss jetzt noch andere Sachen erledigen.

Danke! Prost

19.06.2007, 16:47

Koala

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Zitat:

3.Eine Gasflasche hat die Form eines Zylinders mit aufgesetzter Halbkugel. Das Volumen beträgt 45 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ dm³. Wie groß müssen Radius und Höhe des Zylinders sein, damit die Oberfläche minimal wird?

Ich nehme jetzt diese Aufgabe.
Meine Skizze, ist sie soweit richtig?

$\begin{eqnarray*} Vzylinder=\pi*r^2*h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Vhalbkugel= \frac{4}{6}* \pi*r^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Ozylinder = A_{\mathrm {Mantel}} + 2 \cdot A_{\mathrm {Grundfl\ddot ache}} = 2 \pi r h + 2 \cdot \pi r^2 = 2 \pi \cdot r (h + r) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} OHalbkugel=2*\pi*r^2 \end{eqnarray*}$

Da gibt es doch jetzt bestimmt einen Haken. Beim Zylinder muss ich doch jetzt den Deckel abziehen, da dort die aufgesetzte Halbkugel ist.
Also müsste die Oberflächenformel für den Zylinder+aufgesetzter Halbkugel lauten:

$\begin{eqnarray*} Ozylinder+Halbkugel =2 \pi r h +\pi r^2+2*\pi*r^2 \end{eqnarray*}$

Richtig?

19.06.2007, 17:35

tigerbine

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19.06.2007, 17:51

Koala

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Wenn ich $\begin{eqnarray*} 45*\pi dm^3 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} cm^3 \end{eqnarray*}$ umrechen will dann sind es doch $\begin{eqnarray*} 45000 \pi cm^3 \end{eqnarray*}$ oder?

19.06.2007, 17:57

tigerbine

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1 dm = 10 cm

1 dm³ = 10³ cm³ = 1000 cm³ Augenzwinkern

19.06.2007, 17:58

AnalysisTutor

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korrekt

19.06.2007, 18:02

Koala

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Gut, aber ich weiß nicht wie ich mit dem PI umgehen soll.

Entweder sind $\begin{eqnarray*} 45 \pi dm^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 45000*\pi cm^3 \end{eqnarray*}$

oder

ich rechne $\begin{eqnarray*} 45*\pi= 141,37dm^3 = 141371,66 cm^3 \end{eqnarray*}$

edit: huch, kommt bei beiden dasselbe raus. na gut...dann hab ich es verstanden. so ich rechne weiter!

19.06.2007, 18:04

tigerbine

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Das böse böse Pi Big Laugh

$\begin{eqnarray*} 45\pi dm^3 =45\pi (1 ~dm^3) = 45\pi (1000~cm^3) = 45000\pi cm^3 \end{eqnarray*}$

19.06.2007, 18:04

Koala

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edit: uups zu früh auf "abschicken" gedrückt.. ich werde hier gleich meinen Rechenweg posten. dauert ~ 15min ca.

Soo:

$\begin{eqnarray*} Vgasflasche= Vzylinder+Vhalbkugel = \pi*r^2*h+ \frac{4}{6}* \pi r^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 45000\pi = \pi*r^2*h+ \frac{4}{6} *\pi *r^3 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} / \pi r^2 | -\frac{4}{6} *\pi *r^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <> \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{45000\pi-4*\pi*r^3}{\pi*r^2*6} = h \end{eqnarray*}$

Dann kann ich das Pi und das r wegkürzen und erhalte dann

$\begin{eqnarray*} \frac{45000\pi-4*\pi *r}{6} = h \end{eqnarray*}$

So bislang mein Rechenweg. Irgendwelche Fehler?

19.06.2007, 18:46

Koala

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Beitrag wurde editiert :-)

19.06.2007, 18:56

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} V_{\text{Zylinder}}=\pi \cdot r^2 \cdot h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_{\text{Halbkugel}}= \frac{4}{6} \cdot \pi \cdot r^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_{Dose} = \pi \cdot r^2 \cdot (h + \frac{2}{3}\cdot r) = 45000\pi \end{eqnarray*}$

Alle Angaben wieder in cm. Verwende bitte \cdot anstatt * Namen mit \text{} schreiben.

$\begin{eqnarray*} h = \frac{45000}{r^2} -\frac{2}{3}\cdot r \end{eqnarray*}$

19.06.2007, 19:31

Koala

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Zitat:

Original von tigerbine

$\begin{eqnarray*} V_{Dose} = \pi \cdot r^2 \cdot (h + \frac{2}{3}\cdot r) = 45000\pi \end{eqnarray*}$

Diese Formel setzt sich ja aus dem Volumen der Halbkugel und des Zylinders zusammen aber ich erkenne nicht wie genau? Was ist was und was wurde wo gekürzt..?
Was war denn bei meiner Rechnung falsch?

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