Referat [Extremwertprobleme]

17.06.2007, 14:48

Koala

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Referat [Extremwertprobleme]

Hey, Matheboard-Team Wink

Wink

Also ich will ehrlich sein. Ich kann das Thema nicht so gut und habe deshalb dementsprechend die Arbeit verhaun. Deswegen habe ich mich entschieden ein Referat zu halten um meine Note zu retten (habe eine Woche Zeit). Ich habe 3 Aufgaben bekommen die ich lösen muss.

Das Problem ist halt nur, dass ich nicht wirklich viel weiß wie ich anfangen soll. unglücklich

unglücklich

... aber das will ich ändern.
Deswegen bräuchte ich eure Hilfe (Lösungsansätze oder die komplette Lösung - muss aber nicht).

Folgende Aufgaben müssen erarbeitet werden , wobei ich erstmal mit der ersten Aufgabe beginnen möchte und nach und nach zur zweiten und dritten übergehe.

Zitat:

1.Ein Getränkekarton mit dem Volumen V (1 dm³) soll die Form eines quadratischen Prismas haben. Wie groß müssen Seitenlänge und Höhe des Prismas sein, damit die Oberfläche minimal wird?

ERLEDIGT

Zitat:

2.Wie muss man den Radius und die Höhe einer zylindrischen Dose vom Volumen V (250 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ cm³) wählen, damit die Oberfläche minimal wird?

ERLEDIGT

Zitat:

3.Eine Gasflasche hat die Form eines Zylinders mit aufgesetzter Halbkugel. Das Volumen beträgt 45 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ dm³. Wie groß müssen Radius und Höhe des Zylinders sein, damit die Oberfläche minimal wird?

ERLEDIGT

17.06.2007, 14:53

Bjoern1982

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Was weisst du denn über Extremwertprobleme ?

Gruß Björn

17.06.2007, 14:56

tigerbine

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RE: Brauche Hilfe: Referat [Extremwertprobleme]
Na dann, denk an Doug's Test. Schluss mit Ballspielen und lernen. Big Laugh

Big Laugh

Komplettlösung gibt es hier nicht, aber Leute die motiviert sind Dir beim verstehen lernen zu helfen.

Aufgabe 1

Wie sieht ein quadratisches Prisma aus? Skizze machen.
Wie berechnet man dessen Oberfläche? Buch nachschlagen.
Wie berechnet man dessen Volumen? Buch nachschlagen.

17.06.2007, 14:58

Koala

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Was weisst du denn über Extremwertprobleme ?

Gruß Björn

Also sowas wie Nebenbedingung, Zielfunktion, Extremwerte errechnen und was zu so einer Aufgabe gehören kann ich nur teils teils. Ich kann diese Sachen meistens nicht zu Ende führen sondern nur den Anfang... Hammer

Hammer

17.06.2007, 15:01

Koala

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RE: Brauche Hilfe: Referat [Extremwertprobleme]

Zitat:

Original von tigerbine
Na dann, denk an Doug's Test. Schluss mit Ballspielen und lernen. Big Laugh

Big Laugh

Komplettlösung gibt es hier nicht, aber Leute die motiviert sind Dir beim verstehen lernen zu helfen.

Aufgabe 1

Wie sieht ein quadratisches Prisma aus? Skizze machen.
Wie berechnet man dessen Oberfläche? Buch nachschlagen.
Wie berechnet man dessen Volumen? Buch nachschlagen.

Naa, dann mal ran an den Speck Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

Ein quadratisches Prisma ist ja nichts anderes als ein Würfel, nich?

1.

http://www.mathematische-basteleien.de/wuerfel23.gif
2. O=6a²
3. und das Volumen V=a³.

17.06.2007, 15:10

Airblader

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Meinst du nicht, dass es komisch wäre, Seitenlänge und Höhe zu bestimmen, wenn es ein Würfel ist, bei dem das immer gleichlang ist? Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

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17.06.2007, 15:10

tigerbine

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RE: Brauche Hilfe: Referat [Extremwertprobleme]

Zitat:

wikipedia
Ein Prisma (Mehrzahl: Prismen) ist ein geometrischer Körper, der durch Parallelverschiebung eines ebenen Vielecks entlang einer nicht in dieser Ebene liegenden Geraden im Raum entsteht. Ein Prisma ist daher ein spezielles Polyeder. Man kann auch von einer Extrusion des Vielecks sprechen.

Mehr

Nein, es ist kein Würfel. Es bedeutet nur, dass die Grundfläche ein Quadrat ist. Man könnte nun im Rahmen der Erfahrung mit Tetrapacks noch meinen, dass es ein gerades Primsa ist. Explizit steht das aber nicht in der Aufgabe und es lebe das Produktdesign.

Wie sehen die neuen Oberflächen und Volumenformeln aus?

@ Air:

Das ist sicher richtig. Aber ein gefährliches Schlussfolgerungsverfahren, sobald man die Schule verlässt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.06.2007, 15:10

Bjoern1982

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Nein, ein quadratisches Prisma hat nur als Grundfläche ein Quadrat, die Höhe kann ist variabel und kann beliebig sein.

Gruß Björn

17.06.2007, 15:16

Koala

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1.

http://www.mathematische-basteleien.de/quprisma01.gif
2. Die Oberfläche ist O=2a²+4ah und das Volumen V=a²h.

17.06.2007, 15:19

tigerbine

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Ok. Welche Größe ist den "fix" in der Aufgabe?

17.06.2007, 15:28

Koala

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Zitat:

Original von tigerbine
Ok. Welche Größe ist den "fix" in der Aufgabe?

mh was meinst du genau? welche Größen fest sind?

meinst du die Seitenlänge A, die Höhe H

17.06.2007, 15:30

tigerbine

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Nein, gerade die sollen doch "angepasst werden. Aber was soll denn immer gleich bleiben, egal wie das Prisma am Ende aussieht. Der erste Satz der Aufgabe verrät es doch schon.

17.06.2007, 15:31

Koala

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Achso, jetzt hab ichs verstanden. Dann meinst du das Volumen (1dm³=1000cm³)

17.06.2007, 15:35

tigerbine

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Jo, das meinte ich. Es gilt also:

$\begin{eqnarray*} V = 1 \text{Liter} = 1\text{dm}^3 = 1000 \text{cm}^3 \end{eqnarray*}$

Mit der Formel für das Volumen folgt dann:

$\begin{eqnarray*} a² \cdot h = 1000 \text{cm}^3 \end{eqnarray*}$

Nun hast du die Möglichkeit h durch a auszudrücken. Wie?

17.06.2007, 15:47

Koala

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Zitat:

Original von tigerbine
Jo, das meinte ich. Es gilt also:

$\begin{eqnarray*} V = 1 \text{Liter} = 1\text{dm}^3 = 1000 \text{cm}^3 \end{eqnarray*}$

Mit der Formel für das Volumen folgt dann:

$\begin{eqnarray*} a² \cdot h = 1000 \text{cm}^3 \end{eqnarray*}$

Nun hast du die Möglichkeit h durch a auszudrücken. Wie?

Ok, das versteh ich wieder nicht. Was du mit "auszudrücken" meinst. unglücklich

unglücklich

Also ich schlag mal was vor:

a²*h=1000cm³ | : a²

<> h= 1000cm³/a²

und dieses hier in diese Bedingung einsetzen:

O=2a²+4ah <- minimal

Bitte nicht hauen wenn das komplett falsch ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.06.2007, 15:57

babelfish

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Ja, wenn du es eingesetzt hast, musst du nur noch das Minimum ausfindig machen. Weißt du, wie das funktioniert?

Wenn du allgemein Probleme mit dem Thema hast, hilft dir vielleicht auch unser Workshop weiter: [Workshop] Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen

17.06.2007, 15:58

tigerbine

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Damit das ganze nun auch ohne Einheiten weiter geht, definiere ich:

$\begin{eqnarray*} \text{Seitenlänge Quadrat:} ~a \text{ cm} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Höhe Prisma:} ~h \text{ cm} \end{eqnarray*}$

Somit:

$\begin{eqnarray*} a² \text{ cm}^2 \cdot h \text{ cm} = 1000 \text{ cm}^3 \end{eqnarray*}$

Ohne Einheiten dann:

$\begin{eqnarray*} a^2 \cdot h = 1000 \end{eqnarray*}$

Da das Volumen von 0 verschieden ist, müssen auch a und h von 0 verschieden sein. Division also erlaubt:

$\begin{eqnarray*} h = \frac{1000}{a^2} \end{eqnarray*}$ (*)

Nun kommen wir zum Teil - Extremwert. Da sollte ja die Oberfläche minimal werden. Deren Formel war im geraden Prisma:

$\begin{eqnarray*} O = 2a^2 + 4ah \end{eqnarray*}$

Mit (*) können wir alles durch eine Variable ausdrücken. Daher wird O eine Funktion in a:

$\begin{eqnarray*} O(a) = 2\cdot a² + 4\cdot a \cdot \frac{1000}{a^2} \end{eqnarray*}$

Das nun mal noch vereinfachen. Dann ist der Text in Formeln gepackt, nun muss das Minimum der Funktion O bestimmt werden.

17.06.2007, 16:12

Koala

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Zitat:

Original von babelfish
Ja, wenn du es eingesetzt hast, musst du nur noch das Minimum ausfindig machen. Weißt du, wie das funktioniert?

Wenn du allgemein Probleme mit dem Thema hast, hilft dir vielleicht auch unser Workshop weiter: [Workshop] Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen

Danke für den Link!
Ich versuch gleich das Minimium ausfindig zu machen.

Zitat:

Original von tigerbine
Damit das ganze nun auch ohne Einheiten weiter geht, definiere ich:

$\begin{eqnarray*} \text{Seitenlänge Quadrat:} ~a \text{ cm} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Höhe Prisma:} ~h \text{ cm} \end{eqnarray*}$

Somit:

$\begin{eqnarray*} a² \text{ cm}^2 \cdot h \text{ cm} = 1000 \text{ cm}^3 \end{eqnarray*}$

Ohne Einheiten dann:

$\begin{eqnarray*} a^2 \cdot h = 1000 \end{eqnarray*}$

Da das Volumen von 0 verschieden ist, müssen auch a und h von 0 verschieden sein. Division also erlaubt:

$\begin{eqnarray*} h = \frac{1000}{a^2} \end{eqnarray*}$ (*)

Nun kommen wir zum Teil - Extremwert. Da sollte ja die Oberfläche minimal werden. Deren Formel war:

$\begin{eqnarray*} O = 2a^2 + 4ah \end{eqnarray*}$

Mit (*) können wir alles durch eine Variable ausdrücken. Daher wird O eine Funktion in a:

$\begin{eqnarray*} O(a) = 2\cdot a² + 4\cdot a \cdot \frac{1000}{a^2} \end{eqnarray*}$

Das nun mal noch vereinfachen. Dann ist der Text in Formeln gepackt, nun muss das Minimum der Funktion O bestimmt werden.

Danke, diesen Schritt hatte ich in meinen Gedanken auch, war mir aber unsicher.
Das Minimum werde ich gleich versuchen zu bestimmen.

17.06.2007, 16:48

Koala

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$\begin{eqnarray*} O(a) = 2\cdot a² + 4\cdot a \cdot \frac{1000}{a^2} \end{eqnarray*}$

Man kann das "a" wegkürzen:
dann erhält man:

$\begin{eqnarray*} O(a) = 2\cdot a² + \frac{4000}{a} \end{eqnarray*}$

Dann kommt die 1. Ableitung:

$\begin{eqnarray*} O'(a) = 4\cdot a - \frac{4000}{a^2} \end{eqnarray*}$

Dann muss man die 1. Ableitung = Null setzen:

Wie gehts dann genau weiter?

Ist das denn bis jetzt richtig (bin mir bei der Ableitung unsicher)

17.06.2007, 16:52

babelfish

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Stimmt alles bisher! Freude

Freude

Jetzt setzt du, wie du schon gesagt hast, die O'(a)=0 und bestimmst das a!

17.06.2007, 16:54

tigerbine

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Na sieht doch gut aus. also Berechne mal die Nullstelle der Ableitung und weise nach, dass es ein Minimum ist.

17.06.2007, 17:06

Koala

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Wie bestimme ich denn die Nullstellen der Ableitung mit der pq-Formel ?

http://mathe.informatikservice.de/formeln/pq.gif

Sorry, komme jetzt nicht weiter.

Muss die Nullstelle > 0 damit wir das Minimum haben?

edit: So wie ich es aus deinem Graphen deute, ist 10 eine Nullstelle. Aber wie kommt man darauf?

17.06.2007, 17:09

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} O'(a) = 4\cdot a - \frac{4000}{a^2} \stackrel{\mathrm{!}}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4\cdot a - \frac{4000}{a^2} =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4\cdot a^3 - 4000 =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^3 -1000=0 \end{eqnarray*}$

Da komme ich ganz ohne pq aus.

17.06.2007, 17:15

Koala

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Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} O'(a) = 4\cdot a - \frac{4000}{a^2} \stackrel{\mathrm{!}}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4\cdot a - \frac{4000}{a^2} =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4\cdot a^3 - 4000 =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^3 -1000=0 \end{eqnarray*}$

Da komme ich ganz ohne pq aus.

Wie bist du denn beim 3. Schritt auf die $\begin{eqnarray*} a^3 \end{eqnarray*}$ gekommen? Hast du einfach die "a's" zusammengefasst?

Ok dann haben wir
$\begin{eqnarray*} a^3 -1000=0 \end{eqnarray*}$

Dann zieh ich die 3. Wurzel von 1000! Nullstelle = 10.

17.06.2007, 17:17

tigerbine

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Na ich habe mit a² multipliziert, damit der Bruch wegfällt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.06.2007, 17:19

Koala

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Zitat:

Original von tigerbine
Na ich habe mit a² multipliziert, damit der Bruch wegfällt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

ouh! Alles klar! ... wie gehts weiter?
Was habe ich denn jetzt mithilfe der Nullstelle erarbeitet?

17.06.2007, 17:25

tigerbine

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Über diese Frage denkst Du mal selber nach. In deinen Unterlagen (Kurvendiskussion) müßten notwendige Kriterien für Extremwerte von Funktionen stehen. Auch wie man dann überprüft, ob es sich wirklich um Extremstellen handelt.

Kurvendiskussion

17.06.2007, 17:39

Koala

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1. Ableitung:
$\begin{eqnarray*} O'(a) = 4\cdot a - \frac{4000}{a^2} \end{eqnarray*}$

Dann schau ich jetzt mal nach, um was für eine Extremstelle es sich handelt.

Dafür brauche ich die 2. Ableitung:

$\begin{eqnarray*} O'(a) = 4\cdot a + \frac{4000}{a^3} \end{eqnarray*}$

Bevor ich weitermache muss ich wissen ob diese 2. Abl. richtig ist!

17.06.2007, 17:46

tigerbine

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Na was ist denn 4a abgeleitet? Und auch der zweite Teil gefällt mir nicht.

17.06.2007, 17:52

Koala

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Zitat:

Original von tigerbine
Na was ist denn 4a abgeleitet? Und auch der zweite Teil gefällt mir nicht.

uups hatte das vorhin vergessen.

also 4a abgeleitet ist kein Problem.

2. Ableitung:

$\begin{eqnarray*} O'(a) = 4 +/- \frac{?}{?} \end{eqnarray*}$

... wie ich den 2. Teil jetzt ableiten muss, hab keine Ahnung. Habe vorhin schon gegooglet aber ich finde kein einfaches Beispiel wo ich es hätte sehen können.

17.06.2007, 17:55

tigerbine

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Schau in dein SChulbuch. Ableitung vom Typ $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$

17.06.2007, 18:33

Koala

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Stamm:
$\begin{eqnarray*} O(a) = 2\cdot a² + \frac{4000}{a} \end{eqnarray*}$

1. Ableitung:
$\begin{eqnarray*} O'(a) = 4\cdot a - \frac{4000}{a^2} \end{eqnarray*}$

2. Ableitung:

$\begin{eqnarray*} O''(a) = 4+ \frac{4000}{a^3} \end{eqnarray*}$

Das müsste sie doch sein ?!
Als Beispiel habe ich hier stehen, dass $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

in der 2. Ableitung: $\begin{eqnarray*} f'(x) = - \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$

ist.
Dann müsste doch jetzt meine Ableitung richtig sein traurig

traurig

17.06.2007, 18:38

tigerbine

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Stamm? Wir wollen nicht integrieren...

$\begin{eqnarray*} O(a) = 2\cdot a² + \frac{4000}{a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O'(a) = 2\cdot 2 a + 4000 \cdot ((-1)\cdot \frac{1}{a^2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O''(a) = 4 - 4000 \cdot ((-2) \cdot \frac{1}{a^3}) \end{eqnarray*}$

17.06.2007, 18:52

Koala

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Zitat:

Original von tigerbine
Stamm? Wir wollen nicht integrieren...

$\begin{eqnarray*} O(a) = 2\cdot a² + \frac{4000}{a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O'(a) = 2\cdot 2 a + 4000 \cdot ((-1)\cdot \frac{1}{a^2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O''(a) = 4 - 4000 \cdot ((-2) \cdot \frac{1}{a^3}) \end{eqnarray*}$

Ja gut.. danke! Tanzen

Tanzen

Also, um herauszufinden um was es sich für eine Extremstelle handelt, setze ich in die 2. Ableitung a=10 ein. Als Ergebnis erhalte ich 12!

Wikipedia sagt:

Zitat:

Ist die zweite Ableitung größer als 0, handelt es sich um ein lokales Minimum, ist sie kleiner als 0, handelt es sich um lokales Maximum. Ist sie jedoch auch gleich 0, muss man weitere Untersuchungen anstellen, um zu entscheiden, ob eine Extremstelle vorliegt oder nicht.

Die 2. Ableitung ist 12 und ist somit größer als 0. D.h. dass 10 ein Lokales Minimum ist.

Soweit alles richtig?

17.06.2007, 18:53

tigerbine

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Freude

17.06.2007, 19:03

Koala

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke an alle!! Vorallem danke ich dir Tigerbine ;-)

..also weiter!

Ich weiß ja jetzt, dass a=10 ist. Kann ich jetzt diese Zahl in die Gleichung einsetzen und nach "h" auflösen und dann wäre ich fertig mit der Aufgabe ?

$\begin{eqnarray*} a^2 \cdot h = 1000 \end{eqnarray*}$

a=10
$\begin{eqnarray*} 100 \cdot h = 1000 \end{eqnarray*}$ | $\begin{eqnarray*} : 100 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h = \frac{1000}{100} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h = 10 \end{eqnarray*}$

Und dann wäre die Antwort: Die Seitenlänge und die Höhe betragen jeweils 10cm.

17.06.2007, 19:10

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst nichts mehr nach h auflösen. Das hatten wir bereits getan.

Zitat:

tigerbine
$\begin{eqnarray*} h = \frac{1000}{a^2} \end{eqnarray*}$ (*)

Und damit folgt auch h=10. Wenn wunderst, der Würfel (wenn gerades Prisma) erweist sich als Prima mit der kleinsten Oberfläche bei konstantem Volumen.

Würde es einen Unterschied machen, wenn das Prisma nicht gerade ist?

17.06.2007, 19:18

Koala

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tigerbine
Du musst nichts mehr nach h auflösen. Das hatten wir bereits getan.

Zitat:

tigerbine
$\begin{eqnarray*} h = \frac{1000}{a^2} \end{eqnarray*}$ (*)

Und damit folgt auch h=10. Wenn wunderst, der Würfel (wenn gerades Prisma) erweist sich als Prima mit der kleinsten Oberfläche bei konstantem Volumen.

Würde es einen Unterschied machen, wenn das Prisma nicht gerade ist?

Achsoo... Mensch Mensch Mensch bin ich schwer vom Begriff. Forum Kloppe

Forum Kloppe

Augenzwinkern

ui, eine Frage habe ich noch. Um ein Maximum von etwas rauszufinden, braucht man in der Ableitung auch ein lokales Maximun, nich? Und beim minimum ein lok. Minimum

Ich bereite gleich die 2. Aufgabe vor, wenn ich die Zeit gleich noch finde.
Wenn nicht, dann gehts morgen weiter. Freude

Freude

Hoffe dann auf gleiche Kompetenz Freude

Freude

17.06.2007, 19:22

tigerbine

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Lehrer

Vergiss auch nicht meine letzte Frage. Wir haben bislang nur mit geraden Prismen gerechnet. Da noch eine Woche Zeit ist, Frage in der Schule rück, ob auch schiefe Prismen gemeint sein können.

17.06.2007, 19:25

Koala

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich frage morgen nach!

Zitat:

ui, eine Frage habe ich noch. Um ein Maximum von etwas rauszufinden, braucht man in der Ableitung auch ein lokales Maximum, nich? Und beim minimum ein lokales Minimum?
Wäre es möglich gewesen, dass ein Wert von unter Null rausgekommen wäre in der 2. Ableitung? Falls ja, wie hätte ich das Problem lösen können.

Kann sein, dass diese Frage von mir unlogisch ist, aber sie liegt mir auf dem Herzen geschockt

geschockt

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