Beweis der Korrektheit einer Matrix

17.06.2007, 14:19

MrMilk

Beweis der Korrektheit einer Matrix

Hallo,

ich habe eine Frage zum Beweis einer Matrix. Bei uns gilt nach Definition, dass $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ auf die erste Spalte abgebildet wird, $\begin{eqnarray*} e_2 \end{eqnarray*}$ auf die zweite und so weiter...

Es sei $\begin{eqnarray*} \varphi : \mathbb R ^4 \to \mathbb R^5 \end{eqnarray*}$ wie folgt definiert:

$\begin{eqnarray*} \varphi\left(\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\\0\end{array}\right)\right):=\left(\begin{array}{c}3\\2\\-1\\4\\1\end{array}\right)&&\varphi\left(\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\0\end{array}\right)\right):=\left(\begin{array}{c}1\\5\\0\\3\\2\end{array}\right)\\\varphi\left(\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\\0\end{array}\right)\right):=\left(\begin{array}{c}5\\7\\10\\-2\\-1\end{array}\right)&&\varphi\left(\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\1\end{array}\right)\right):=\left(\begin{array}{c}-3\\-2\\2\\0\\1\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Ich soll nun einen Matrix A dazu bestimmen, die folgende Eigenschaft erfüllt: $\begin{eqnarray*} \varphi (x)=A\cdot x \end{eqnarray*}$ . Bei mir sieht A wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} A:= \left[\begin{array}{cccc}3 & 1 & 5 & -3\\2 & 5 & 7 & -2\\-1 & 0 & 10 & 2\\4 & 3 & -2 & 0\\1 & 2 & -1 & 1\end{array}\right] \end{eqnarray*}$

Zu meiner Schande muss ich gehen, weiß ich nicht wie man so etwas beweise kann, dass die Bedingung $\begin{eqnarray*} \varphi (x)=A\cdot x \end{eqnarray*}$ erfüllt ist.

Könntet ihr mir vielleicht kurz eine Hilfestellung geben?

Viele Grüße
-- MrMilk

17.06.2007, 14:22

tigerbine

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RE: Beweis der Korrektheit einer Matrix
Wie wäre es mit Beweis durch nachrechnen?

Ax = ?

17.06.2007, 14:23

therisen

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Hallo,

normal braucht man das nicht mehr nachzuweisen, da man das in der Vorlesung beweist.

Du musst zeigen, dass die Gleichung $\begin{eqnarray*} \varphi(x)=Ax \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ gilt. Schreibe $\begin{eqnarray*} x=\sum_{i=1}^4 \lambda_i e_i \end{eqnarray*}$ und setze mal ein.

Gruß, therisen

17.06.2007, 14:55

MrMilk

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Hallo therisen,

ich habe es einmal so versucht:

$\begin{eqnarray*} A\cdot x= \left[\begin{array}{cccc}3x & 1x & 5x & -3x\\2x & 5x & 7x & -2x\\-1x & 0x & 10x & 2x\\4x & 3x & -2x & 0x\\1x & 2x & -1x & 1x\end{array}\right] \end{eqnarray*}$

Dieses bekomme ich bei der Matrix heraus.

Bei $\begin{eqnarray*} \varphi (x) \end{eqnarray*}$ erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} &\varphi(x)=&\\\varphi\left(\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\\0\end{array}\right)\right)(x)=\left(\begin{array}{c}3x\\2x\\-1x\\4x\\1x\end{array}\right)&&\varphi\left(\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\0\end{array}\right)\right)(x)=\left(\begin{array}{c}1x\\5x\\0x\\3x\\2x\end{array}\right)\\\varphi\left(\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\\0\end{array}\right)\right)(x)=\left(\begin{array}{c}5x\\7x\\10x\\-2x\\-1x\end{array}\right)&&\varphi\left(\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\1\end{array}\right)\right)(x)=\left(\begin{array}{c}-3x\\-2x\\2x\\0x\\1x\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Was aber wieder $\begin{eqnarray*} A\cdot x \end{eqnarray*}$ entspricht, nach der Abbildungsvorschift von oben.
Wäre dieses so okay?

Viele Grüße
--MrMilk

17.06.2007, 14:59

therisen

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Schreib das nochmal sauber auf. $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ , was hat also $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bei den Einträgen der Matrix verloren??

17.06.2007, 15:17

MrMilk

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Hallo therisen,

meinst du ungefähr es so:

Sei $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R ^4,\, x:=(x_1,x_2,x_3,x_4) \end{eqnarray*}$ , somit folgt:

$\begin{eqnarray*} A\cdot x= \left[\begin{array}{cccc}3x_1 & 1x_2 & 5x_3 & -3x_4\\2x_1 & 5x_2 & 7x_3 & -2x_4\\-1x_1 & 0x_2 & 10x_3 & 2x_4\\4x_1 & 3x_2 & -2x_3 & 0x_4\\1x_1 & 2x_2 & -1x_3 & 1x_4\end{array}\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} &\varphi(x)=&\\\varphi\left(\left(\begin{array}{c}x_1\\0\\0\\0\end{array}\right)\right)(x)=\left(\begin{array}{c}3x_1\\2x_1\\-1x_1\\4x_1\\1x_1\end{array}\right)&&\varphi\left(\left(\begin{array}{c}0\\x_2\\0\\0\end{array}\right)\right)(x)=\left(\begin{array}{c}1x_2\\5x_2\\0x_2\\3x_2\\2x_2\end{array}\right)\\\varphi\left(\left(\begin{array}{c}0\\0\\x_3\\0\end{array}\right)\right)(x)=\left(\begin{array}{c}5x_3\\7x_3\\10x_3\\-2x_3\\-1x_3\end{array}\right)&&\varphi\left(\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\x_4\end{array}\right)\right)(x)=\left(\begin{array}{c}-3x_4\\-2x_4\\2x_4\\0x_4\\1x_4\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Zu dem wegfallen: meinst du $\begin{eqnarray*} x\cdot 0 =0 \end{eqnarray*}$

Oder mache ich grade totalen Unfug?

Viele grüße
-- MrMilk

17.06.2007, 15:21

therisen

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Zitat:

Original von MrMilk
Oder mache ich grade totalen Unfug?

Ja. Bei dir ist $\begin{eqnarray*} Ax \end{eqnarray*}$ eine 5x4 Matrix! Das ist absurd. Berücksichtige mal meinen Tipp von oben.

Gruß, therisen

17.06.2007, 15:44

MrMilk

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So.
Nun habe ich einmal die Matrix neu berechnet:

$\begin{eqnarray*} A\cdot x=\begin{array}{c}3\cdot x_{1}+1\cdot x_{2}+5\cdot x_{3}+\left(-3\right)\cdot x_{4}\\2\cdot x_{1}+5\cdot x_{2}+7\cdot x_{3}+\left(-2\right)\cdot x_{4}\\\left(-1\right)\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+10\cdot x_{3}+2\cdot x_{4}\\4\cdot x_{1}+3\cdot x_{2}+\left(-2\right)\cdot x_{3}+0\cdot x_{4}\\1\cdot x_{1}+2\cdot x_{2}+\left(-1\right)\cdot x_{3}+1\cdot _{4}\end{array} \end{eqnarray*}$

Allerdings habe ich zu deinem Tipp doch noch eine Frage:
$\begin{eqnarray*} x=\sum_{i=1}^4 \lambda_i e_i \end{eqnarray*}$ . Deswegen habe ich die Matrix erst so berechnet wie ich es für richtig halte.

Auch wenn diese Frage noch so peinlich ist, möchte ich sie stelle. Wo nimmst du das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ her?

Viele Grüße
-- MrMilk

17.06.2007, 15:52

therisen

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$\begin{eqnarray*} e_1,e_2,e_3,e_4 \end{eqnarray*}$ sind doch eine Basis! Was hältst du davon, wenn du statt x mal die Linearkombination deiner Basis in A einsetzt und die Linearität ausnutzt?

17.06.2007, 16:02

WebFritzi

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Es reicht, für x in Ax die vier Einheitsvektoren einzusetzen, denn eine lin. Abb. ist ja durch die Bilder einer Basis eindeutig bestimmt.

19.06.2007, 08:23

MrMilk

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Hallo,

so ich habe noch einmal "gerechnet" und dabe folgendes erhalten.

Sei $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R ^4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x:= \left(\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Nun erhalte ich:
Für $\begin{eqnarray*} A\cdot x: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A\cdot x=\left(\begin{array}{c}3\cdot x_{1}+1\cdot x_{2}+5\cdot x_{3}+\left(-3\right)\cdot x_{4}\\2\cdot x_{1}+5\cdot x_{2}+7\cdot x_{3}+\left(-2\right)\cdot x_{4}\\\left(-1\right)\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+10\cdot x_{3}+2\cdot x_{4}\\4\cdot x_{1}+3\cdot x_{2}+\left(-2\right)\cdot x_{3}+0\cdot x_{4}\\1\cdot x_{1}+2\cdot x_{2}+\left(-1\right)\cdot x_{3}+1\cdot x_{4}\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Analog für $\begin{eqnarray*} \varphi (x): \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi (x)=\left(\begin{array}{c}3\cdot x_{1}+1\cdot x_{2}+5\cdot x_{3}+\left(-3\right)\cdot x_{4}\\2\cdot x_{1}+5\cdot x_{2}+7\cdot x_{3}+\left(-2\right)\cdot x_{4}\\\left(-1\right)\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+10\cdot x_{3}+2\cdot x_{4}\\4\cdot x_{1}+3\cdot x_{2}+\left(-2\right)\cdot x_{3}+0\cdot x_{4}\\1\cdot x_{1}+2\cdot x_{2}+\left(-1\right)\cdot x_{3}+1\cdot x_{4}\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Somit sollte die Gleichheit gegelten da bei beiden das Ergebnis gleich ist, oder? Bzw. hätte ich noch mehr Zwischenschritte angeben müssen?

Ich weiß das sieht nun recht doof aus, aber im Grunde sollte es doch trivel sein, oder?

Viele Grüße
-- MrMilk

19.06.2007, 08:38

klarsoweit

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Zitat:

Original von MrMilk
Ich weiß das sieht nun recht doof aus, aber im Grunde sollte es doch trivel sein, oder?

So ist es. Im Grunde sollte nur nochmal geübt werden, daß die Abbildung phi durch die Matrix A repräsentiert wird. Es muß aber vorausgesetzt werden, daß die Abbildung phi linear ist. Das wurde in der Aufgabe nicht erwähnt.

19.06.2007, 08:41

MrMilk

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Okay, das mit der lineare Abbildung hat mich auch gewundert. Werde mich da noch einmal erkundigen.

Aber sonst ist es richtig, oder?

Viele Grüße
MrMilk

19.06.2007, 09:07

klarsoweit

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Im Prinzip ist das richtig, allerdings ist formale Schreibweise noch etwas verbesserungswürdig:

Zitat:

Original von MrMilk
$\begin{eqnarray*} \varphi\left(\left(\begin{array}{c}x_1\\0\\0\\0\end{array}\right)\right)(x)=\left(\begin{array}{c}3x_1\\2x_1\\-1x_1\\4x_1\\1x_1\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Das sollte man so schreiben:
$\begin{eqnarray*} \varphi \left( \begin{pmatrix}x_1\\0\\0\\0\end{pmatrix} \right) = x_1 \cdot \varphi \left( \begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}\right) = x_1 \cdot \begin{pmatrix}3\\2\\-1\\4\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

usw.

Da braucht man eben die Linearität von phi.

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