Lineare unabhängigkeit!!!

20.01.2005, 16:16

Dj_Halay

Lineare unabhängigkeit!!!

Hallo an die ganzen Matheboard mitglieder.
Bin erst ma froh das ich den weg hier her gefunden habe sieht alles sehr gut aus smile

Also unszwar komme ich bei einer aufgabe nicht mehr weiter und dachte Ihr könnt mir helfen..

Aufgabenstellung lautet:

Für welches k € R sind die Vektoren a=(1,1,k) , b=(k,1,1) und c=(1,k1,) linear unabhängig verwirrt

und die vektoren a,b,c sind Transponiert das heist untereinander geschrieben.)

Ich bin froh wenn siche einer vom Board die mühe macht und die lösungshinweise mit beschreibung hier her schreibt..

Ich danke euch schon vorraus

mfg

Baris Capti

20.01.2005, 16:46

merlin25

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Welche Bedingung muss denn erfüllt sein, damit die Vektoren linear unabhängig sind? Ist Dir das klar?
Wenn nicht helfe ich weiter.

20.01.2005, 18:13

Dj_Halay

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nein so ganz klar ist es mir nicht, das ergebnis ist ein interval. Also zwischen welchen beiden Zahlen für k werden die drei vektoren unabhängig. Das ergebnis habe ich k € R \(1,-2) aber ich weiss nicht wie ich drauf komme.

hier noch mal die Aufgabe

Für welches k € R sind die Vektoren a=(1,1,k) , b=(k,1,1) und c=(1,k1,) linear unabhängig? (die vektoren a,b,c sind Transponiert das heist untereinander geschrieben.)

21.01.2005, 08:38

klarsoweit

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Da gibt's verschiedene Ansätze. Ich nehme mal diesen:
Die Vektoren a=(1,1,k) , b=(k,1,1) und c=(1,k,1) sind linear unabhängig, wenn das Gleichungssystem x*a + y*b + z*c = (0;0;0) mit x,y,z € R nur die Lösung x = y = z = 0 hat.
Die zum Gleichungssystem gehörende Matrix ist:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \\ k & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, wenn die Determinante nicht Null ist. Das heißt, du brauchst die Nullstellen der Determinante.

21.01.2005, 11:30

merlin25

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Also folgendes Gleichungssystem ist zu lösen, wie klarsoweit ja schon geschrieben hat.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} =x\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ k \end{pmatrix} +y\cdot \begin{pmatrix} k \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} +z\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ k \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

I $\begin{eqnarray*} 0=x\cdot 1+y\cdot k+z\cdot 1 \end{eqnarray*}$
II $\begin{eqnarray*} 0=x\cdot 1+y\cdot 1+z\cdot k \end{eqnarray*}$
III $\begin{eqnarray*} 0=x\cdot k+y\cdot 1+z\cdot 1 \end{eqnarray*}$

Jetzt löse mal nach x,y und z auf.

21.01.2005, 16:16

Dj_Halay

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Vielen dank für die antwort !

also ich habe dannach die determinante vom matrix gemacht und es kam eine k hoch 3 funktion raus und damit habe ich erst ma hornerschema gemacht und dannach halt die nullstellen gerechnet und da kam einmal k1=1 und k2=-2 also das was ich rausfinden wollte.

mfg

Baris Capti

21.01.2005, 16:30

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also ich weiß ja nicht, aber so beim ersten Hingucken hätte ich ja gesagt, das k alles außer 1 sein darf.

21.01.2005, 17:11

JochenX

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@PK: das die vektoren für k=1 linear abhängig ist, sieht man gleich, es geht eben darum, zu prüfen, ob es noch nicht so triviale lösungen gibt (wie hier -2).
also nicht zu voreilig handeln!

@Halay:

Zitat:

nein so ganz klar ist es mir nicht, das ergebnis ist ein interval. Also zwischen welchen beiden Zahlen für k werden die drei vektoren unabhängig. Das ergebnis habe ich k € R \(1,-2) aber ich weiss nicht wie ich drauf komme.

ich hoffe, dir ist inzwischen klar, dass das kein Intervall ist, was da ausgeschlossen ist. es ist eine menge von 2 zahlen.
korrekt muss es also so da stehen: k aus IR\{1,-2} mit mengenklammern.

mfg jochen

21.01.2005, 17:39

iammrvip

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Zitat:

Original von LOED
k aus IR\{1,-2}

Also so ganz richtig

$\begin{eqnarray*} k \in \large \mathbb R\backslash \{1,-2\} \end{eqnarray*}$

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