Unabhängigkeit von Zufallsgrößen / Wahrscheinlichkeitstheorie

17.06.2007, 17:28

DocHoliday

Unabhängigkeit von Zufallsgrößen / Wahrscheinlichkeitstheorie

Hallo! Vermutlich kam sowas schonmal hier, aber mit der Suchfunktion habe ich leider nichts gefunden. Also ich hab folgende Aufgabe:

Seien X,Y,Z Zufallsgrößen. Die Notation X || Y stehe abkürzend für X und Y sind stochastisch unabhängig. Zeigen oder wiederlegen sie:

a) X || Y <=> X^2 || Y^2

Da kommen noch mehr Teilaufgaben, aber bei mir haperts eher am grundlegenden Verständis. Ich weiss bereits durch nen Tip, dass es nicht stimmt, und eine Richtung falsch ist. Also muss ich das ganze durch ein Gegenbeispiel wiederlegen. Der Tip beinhaltete auch, dass ein Raum mit 4 einfachen Elementen wie {1,2,3,4} bereits ausreicht.

So, mein Problem ist jetzt, ich kriegs nich hin, mir 2 unabhängige auf diesem Raum definierte Zufallsvariablen auszudenken, geschweige denn zwei, die das oben wiederlegen würden. Alles was ich mir ausdenke ist abhängig.

Falls einer was dazu weiss wäre ich für nen Tip sehr dankbar .

17.06.2007, 17:32

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Die Hinrichtung (immer wieder ein seltsames Wort, wenn man an die andere Bedeutung denkt...) der Äquivalenz stimmt, die Rückrichtung nicht:

Als Gegenbeispiel musst du nur abhängige Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ mit jeweils Werten in $\begin{eqnarray*} \{-1,+1\} \end{eqnarray*}$ betrachten - das sind z.B. die 4 Wertekombinationen für $\begin{eqnarray*} (X,Y) \end{eqnarray*}$ , von denen du gesprochen hast. Die Quadrate sind dann Konstanten, nämlich $\begin{eqnarray*} X^2=Y^2=1 \end{eqnarray*}$ und als solche per Defintion unabhängig.

17.06.2007, 17:44

DocHoliday

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Aaah du machst das also über die Verneinung, also dass

nicht B => nicht A äquivalent zu A => B

ist? Das ist ne gute Idee, macht die ganze Sache sehr viel einfacher, danke smile

Zum Aufgabenteil b hab ich noch ne Frage betreffend der Notation, keine Ahnung ob du mir da vielleicht auch helfen kannst.

b) X || Y , X || Z <=> X || (Y,Z)

Was ist (Y,Z) für ne "Konstruktion"? Dass es nicht paarweise unabhängigkeit bedeuten kann, ist ja klar, die steht ja schon links.

17.06.2007, 17:50

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Zitat:

Original von DocHoliday
Aaah du machst das also über die Verneinung, also dass

nicht B => nicht A äquivalent zu A => B

ist?

Kann ich jetzt nicht ganz folgen... Was ich skizziert angegeben habe, ist ein Gegenbeispiel für

$\begin{eqnarray*} X \parallel Y \quad \Longleftarrow\quad X^2 \parallel Y^2 \end{eqnarray*}$ ,

also eins mit $\begin{eqnarray*} X^2 \parallel Y^2 \end{eqnarray*}$ und zugleich $\begin{eqnarray*} X \nparallel Y \end{eqnarray*}$ .

Die richtige Aussage

$\begin{eqnarray*} X \parallel Y \quad \Longrightarrow\quad X^2 \parallel Y^2 \end{eqnarray*}$

bleibt natürlich trotzdem noch nachzuweisen.

Zu b) $\begin{eqnarray*} (Y,Z) \end{eqnarray*}$ soll sicher ein Zufallsvektor sein, gebildet aus den beiden Einzelkomponenten $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ .

17.06.2007, 17:54

DocHoliday

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Em jo, ich hab irgendwie Mist gelabert. Mache hier seit Stunden Mathe und bin bischen Wirr im Kopf, ne Pause wär glaub ich angeraten smile

Besten Dank für deine Hilfe!

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