Beweis Pythagoras

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17.06.2007, 18:02

babelfish

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Beweis Pythagoras

Ich habe ein Problem mit einer Beweis-Aufgabe:

Zitat:

Gilt in einem Dreieck mit den Seiten a, b und c die Gleichung a^2+b^2=c^2, so ist das Dreieck rechtwinklig.

Wir machen gerade Vektorrechnung etc., also wird es vermutlich damit etwas zu tun haben Augenzwinkern

, aber mir fehlt irgendwie jeglicher Ansatz...
Kann mir vielleicht jemand einen kleinen Anstoß geben?

17.06.2007, 18:07

tigerbine

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RE: Beweis Pythagoras
Nur eine Anmerkung zum Titel. Satz des Pythagoras, bedeutet für mich:

$\begin{eqnarray*} \text{Dreieck ist rechtwinklig} \Rightarrow a²+b² =c² \end{eqnarray*}$

Dabei sind a,b die Katheten, c die Hypothenuse. Du sollst zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \text{Dreieck ist rechtwinklig} \Leftarrow a²+b² =c² \end{eqnarray*}$

Dabei wurde über a,b,c keine weitere Aussage getroffen.

17.06.2007, 18:07

riwe

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RE: Beweis Pythagoras
probiere es über das skalarprodukt verwirrt

$\begin{eqnarray*} \vec{c}=\vec{a}+\vec{b} \end{eqnarray*}$

und quadrieren
werner

edit: ein bilderl dazu

17.06.2007, 18:22

babelfish

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RE: Beweis Pythagoras

Zitat:

Original von riwe
$\begin{eqnarray*} \vec{c}=\vec{a}+\vec{b} \end{eqnarray*}$

und quadrieren

Oh man, einfacher geht's wirklich nicht...
Danke für's Von-der-Leitung-schubsen! smile

17.06.2007, 18:29

riwe

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RE: Beweis Pythagoras

Zitat:

Original von babelfish

Zitat:

Original von riwe
$\begin{eqnarray*} \vec{c}=\vec{a}+\vec{b} \end{eqnarray*}$

und quadrieren

Oh man, einfacher geht's wirklich nicht...
Danke für's Von-der-Leitung-schubsen! smile

gern geschehen,
war halt ein heißer tag heute unglücklich

edit:
hallo babel, eigentlich habe ich da ein bißchen geschlampt unglücklich

genau muß es heißen:

$\begin{eqnarray*} \vec{c}=\vec{a}-\vec{b} \end{eqnarray*}$
(und quadrieren)
da die beiden "katheten" - vektoren vom scheitel c wegzeigen müssen.

damit hast du den cosinussatz gleich mit erledigt.

$\begin{eqnarray*} c² =a²+b²-2\vec{a}\cdot\vec{b}=a²+b²-2|a||b|\cdot cos\gamma \end{eqnarray*}$

und der letzte ausdruck ist dund 0, wenn $\begin{eqnarray*} \gamma=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

17.06.2007, 19:16

babelfish

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Ich verstehe zwar, wie du den Beweis durchführen willst, aber warum müssen die beiden Vektoren denn von c wegzeigen? Kann man nicht von einem Dreieck ausgehen, wie du es im ersten Beitrag angehangen hast? Ist doch eigentlich vollkommen egal, in welche Richtung die Vektoren zeigen, hauptsache, man bezieht sich beim Beweis auf eben diese Zeichnung...

17.06.2007, 20:18

riwe

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im prinzip ja und im prinzip nein.
für den pythagoras ist es egal.
da kommt es ja nur darauf an, dass die beiden vektoren senkrecht aufeinand stehen.

für den cosinussatz nicht, denn nur mit "variante 2" ist sicher gestellt, dass man vom eingeschlossenen winkel redet.
was man auch daran sehen kann, dass man sonst das "verkehrte" vorzeichen bekommt, was ja so sein muß wegen
$\begin{eqnarray*} cos(\pi -\alpha)=-cos\alpha \end{eqnarray*}$

ok verwirrt

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