Fixpunkt in einem stetigen Intervall (Beweis)

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Gast Auf diesen Beitrag antworten »
Fixpunkt in einem stetigen Intervall (Beweis)
Ich habe hier ein kleines Problem und wäre für Hilfe, Ideen, Lösungen Augenzwinkern offen.

Beweise, mit Hilfe des Zwischensatzes, die Aussage:

Auf abgeschlossenen Intervallen I = [ a , b ] mit reellen Grenzen a < b gilt:
Jede stetige Funktion f : I -> R mit f ( I ) Teilmenge von I besitzt einen Fixpunkt, d.h. es gibt ein x Element I mit f ( x ) = x.

Zwischensatz:
Sei a , b Element R, a < b und f : [ a , b ] -> R stetig,
dann nimmt f jeden Wert zwischen f ( a ) und f ( b ) an.
Genauer:
Liegt d zwischen f ( a ) und f ( b ), gibt es mindestens ein
c mit a < c < b,
so dass
f ( c ) = d

-> als Abbildung auf

greets
Gast Auf diesen Beitrag antworten »
Sry wegen Doppelpost
http://home.tiscali.de/candyman/hfd/graph.jpg

Als Anschauungsgraph
thx
greets

Phaxz
epikur Auf diesen Beitrag antworten »

Das schaut für mich nach einer schwachen Version des Banachschen Fixpunktsatzes aus, Beweise gibts zB in Analysis oder Funktionalanalysis Büchern. Leider fehlt hier die Bedingung, das f kontrahierend ist, die eigentlich für den Beweis wesentlich ist.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fixpunkt in einem stetigen Intervall (Beweis)
Seien m:=max f(I) und n:=min f(I) (diese existieren, da f stetig und I abgeschlossen). Da f(I) Teilmenge von I ist, sind auch m und n in I. Nun nimmt f nach dem Zwischenwertsatz jeden Wert zwischen m und n an. Daher gibt es ein x aus [n,m] mit f(x)=x.

Gruß vom Ben
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