Fixpunkt in einem stetigen Intervall (Beweis) |
07.01.2004, 19:33 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » |
Fixpunkt in einem stetigen Intervall (Beweis) Beweise, mit Hilfe des Zwischensatzes, die Aussage: Auf abgeschlossenen Intervallen I = [ a , b ] mit reellen Grenzen a < b gilt: Jede stetige Funktion f : I -> R mit f ( I ) Teilmenge von I besitzt einen Fixpunkt, d.h. es gibt ein x Element I mit f ( x ) = x. Zwischensatz: Sei a , b Element R, a < b und f : [ a , b ] -> R stetig, dann nimmt f jeden Wert zwischen f ( a ) und f ( b ) an. Genauer: Liegt d zwischen f ( a ) und f ( b ), gibt es mindestens ein c mit a < c < b, so dass f ( c ) = d -> als Abbildung auf greets |
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07.01.2004, 19:39 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » |
Sry wegen Doppelpost http://home.tiscali.de/candyman/hfd/graph.jpg Als Anschauungsgraph thx greets Phaxz |
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07.01.2004, 21:03 | epikur | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das schaut für mich nach einer schwachen Version des Banachschen Fixpunktsatzes aus, Beweise gibts zB in Analysis oder Funktionalanalysis Büchern. Leider fehlt hier die Bedingung, das f kontrahierend ist, die eigentlich für den Beweis wesentlich ist. |
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09.01.2004, 10:44 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Fixpunkt in einem stetigen Intervall (Beweis) Seien m:=max f(I) und n:=min f(I) (diese existieren, da f stetig und I abgeschlossen). Da f(I) Teilmenge von I ist, sind auch m und n in I. Nun nimmt f nach dem Zwischenwertsatz jeden Wert zwischen m und n an. Daher gibt es ein x aus [n,m] mit f(x)=x. Gruß vom Ben |
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