Definition und Satz

18.06.2007, 09:22	wolkan	Auf diesen Beitrag antworten »
Definition und Satz Guten Tag, ich habe da eine Bitte, könnte mir jemand sagen, wie mann die Begriffe Definition und Satz in der Mathematik unterscheidet. Mir ist das eigentlich klar, aber wie formuliert man den Unterschied? schönen Tag noch wolkan
18.06.2007, 10:28	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Definition und Satz Dir ist es eigentlich klar? In einer Definition legt man etwas fest. Das kann man eigentlich beliebig tun, ob eine gemachte Definition sinnvoll ist, ist eine andere Frage. Bei einem Satz folgert man aus einer gegebenen Eigenschaft eine andere. Dass kann z.B. in der Form "wenn ... gilt, dann"( $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ ) oder in der Form "genau dann wenn, gilt" ( $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ ) geschehen. Das gehört aber nicht speziell in die Geometrie.
18.06.2007, 14:48	wolkan	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Definition und Satz Hallo, danke mal für die Antwort. also ich kann schon definieren, das der Halbmesser eines Kreise der Radius "r" sein soll. Dann den Satz aufstellen d=2r, .....aber mir geht es hier um die "mathematisch" richtige Formulierung. Mathematiker haben bisweilen die Eigenart, einfache Dinge kompliziert auszudrücken. Ich habe verschiedene Mathebücher durchgesehen, um eine Erläuterung der verwendeten Begriffe "Definition" und "Satz" zu finden, leider ohne Erfolg. schönen Tag noch wolkan
18.06.2007, 15:40	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Da es bisweilen schwierig ist bestimmte Sachverhalte genau auszudrücken, kann es natürlich vorkommen das Definition oder auch Sätze kompliziert anmuten können, allerdings ist das idR die einfachstmögliche Formulierung ohne Informationsverlust. Sachen wir Namensgebungen sind i.A. Definitionen. Wenn du dir den Radius $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ als die Lotstrecke von einem Kreispunkt zum Mittelpunkt definierst und sagst der Durchmesser $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ ist die Lotstrecke auf zwei Kreispunkten, dann würde ein Satz lauten: $\begin{eqnarray} \textbf{Satz 1.:} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Ist } r \text{ die Länge des Radius und } d \text{ die Länge des Durchmesseres so gilt immer } 2r=d \end{eqnarray}$ Ist dir der Unterschied jetzt klarer ?
18.06.2007, 15:41	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Definition und Satz Naja, wenn Du meinst... $\begin{eqnarray} \text{Def.:}~r :=\frac{1}{2}\cdot d \end{eqnarray}$ Dann solltest du aber auch klären, aus was d und r stammen. Natürliche Zahlen, ganze Zahlen..., reelle Zahlen? Für den Fall IR könntest Du dann folgern: $\begin{eqnarray} \text{Satz: } d = 2r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Beweis: Körperaxiome der reellen Zahlen} \end{eqnarray}$ Mathematiker drücken die Dinge i.A. nur exakt aus. Was Du unter einfach verstehst, hat bestimmt vieles im uneingeblendeten Untertitel stehen.
20.06.2007, 14:00	Ambrosius	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht hilft dir das
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20.06.2007, 16:07	.:wilay:.	Auf diesen Beitrag antworten »
Definition einer Definition: Eine Definition (v.lat.: de ab, weg finis Grenze, also Definitio = Abgrenzung) ist die genaue Bestimmung eines Begriffes durch Beschreibung und/oder Erklärung seines Inhalts. Definition eines Satzes. Ein Satz ist in der Mathematik und in der Logik eine neue Erkenntnis, die ausgehend von Axiomen, Definitionen und bereits bekannten Sätzen formuliert wird. Damit die Aussage eines Satzes anerkannt wird, muss sie bewiesen werden. Strenggenommen handelt es sich dabei um eine durch die klassische Prädikatenlogik legitimierte Folge von Schlussfolgerungen. Alternative Logiken wie etwa in der konstruktiven Mathematik spielen in der Mathematik eine untergeordnete Rolle. Also ein Satz geht von einer Definition aus, muss daher bewiesen werden. Die Definition ist kürzer und kann auch nur aus einer Formel bestehen. So würde ich das verstehen.

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