Extremwert bei Funktionenschar

18.06.2007, 10:19

Ling-Ling

Extremwert bei Funktionenschar

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f_a(x) = a^2xe^{-ax} \end{eqnarray*}$

Für welches a(grösser gleich)1 schneidet der Graph von f_a(x) die länste Strecke aus der Geraden y=x heraus?

(Aus einer früheren Teilaufgabe ist bekannt, dass die Hochpunkte auf x= 1/a liegen, falls das hilft.)

Also der Schnittpunktg ist $\begin{eqnarray*} a^2e^{-ax} = 1 \end{eqnarray*}$

Davon die 1.Ableitung : $\begin{eqnarray*} e^{-ax} * (1-a^3) \end{eqnarray*}$ und setzt man das gleich Null, kommt a= 1 raus (was aber nicht stimmen kann wenn man eine Skizze betrachtet)

18.06.2007, 10:31

tigerbine

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RE: Extremwert bei Funktionenschar
Wie ist denn dein Ansatz? Die Schar und die Gerade müssen sich schneiden.

$\begin{eqnarray*} f_a(x) = g(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2xe^{-ax} = x \end{eqnarray*}$

Stop. Hier darfst Du nicht einfach durch x teilen. Was gilt denn hier für x=0?

18.06.2007, 10:36

Ling-Ling

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RE: Extremwert bei Funktionenschar
oops.

18.06.2007, 10:47

tigerbine

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RE: Extremwert bei Funktionenschar
Und was folgt aus dem oops? Augenzwinkern

18.06.2007, 10:59

Ling-Ling

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RE: Extremwert bei Funktionenschar
ok, vielleicht so:

$\begin{eqnarray*} a^2xe^{-ax}-x = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x ( a^2e^{-ax}-1) = 0 \end{eqnarray*}$

18.06.2007, 11:00

tigerbine

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RE: Extremwert bei Funktionenschar
Das sieht schon besser aus. Welche Schnittpunkte findest Du also?

18.06.2007, 11:08

Ling-Ling

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RE: Extremwert bei Funktionenschar
$\begin{eqnarray*} x_1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = -\frac{ln (\frac{1}{a^2})}{a} \end{eqnarray*}$

Jetzt wie weiter? x2 nach a ableiten?

18.06.2007, 11:14

tigerbine

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RE: Extremwert bei Funktionenschar
Erste Schnittstelle ist bei $\begin{eqnarray*} S_1(x_1/g(x_1)) = (0/0) \end{eqnarray*}$

Zweite bei $\begin{eqnarray*} (a \geq 1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2\cdot e^{-ax} -1 = 0 \Leftrightarrow e^{-ax} = \frac{1}{a^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -ax = \ln(\frac{1}{a^2}) \Leftrightarrow x = -\frac{\ln(\frac{1}{a^2})}{a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_2(-\frac{\ln(\frac{1}{a^2})}{a} / -\frac{\ln(\frac{1}{a^2})}{a}) \end{eqnarray*}$

wie lang ist die Strecke S1S2?

18.06.2007, 13:17

tigerbine

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RE: Extremwert bei Funktionenschar
Beispiel:

$\begin{eqnarray*} a=2,~S_2(0,0),~S_2(0.69 / 0.69) \end{eqnarray*}$

Mit dem Pythagoras solltest Du die Länge berechnen können.

18.06.2007, 14:08

mapo

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Tigerbiene, schön gerechnet. Aber ist jetzt nicht die Frage für welches a die längste Strecke ist?

Also sprich, irgendeine Optimierungssache?

18.06.2007, 14:20

klarsoweit

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Ja. tigerbine hat ja nur ein Beispiel angegeben, damit du mal den Abstand der Punkte S1 und S2 berechnest. Dast mußt du natürlich mit einem allgemeinen S2 (der von a abhängt) machen.

18.06.2007, 14:49

tmo

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RE: Extremwert bei Funktionenschar

Zitat:

Original von tigerbine

$\begin{eqnarray*} -ax = \ln(\frac{1}{a^2}) \Leftrightarrow x = -\frac{\ln(\frac{1}{a^2})}{a} \end{eqnarray*}$

das lässt sich aber noch vereinfachen smile

$\begin{eqnarray*} x = -\frac{\ln(\frac{1}{a^2})}{a} = -\frac{-2\ln(|a|)}{a} = \frac{2\ln(|a|)}{a} \end{eqnarray*}$

und zu dem extremwertproblem, welches dann folgt: manchmal ist es gut, ein recht kompliziertes problem auf ein einfacheres zurückführen.

die strecke zwischen (0|0) und (h|h) ist genau dann am größten, wenn h vom betrag her am größten ist.

daher reicht es die funktion

$\begin{eqnarray*} S(a) = \frac{2\ln(|a|)}{a} \end{eqnarray*}$

auf extrema zu überprüfen.

den pythagoras spart man sich so smile

18.06.2007, 17:08

Ling-Ling

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RE: Extremwert bei Funktionenschar

Zitat:

Original von tmo

daher reicht es die funktion

$\begin{eqnarray*} S(a) = \frac{2\ln(|a|)}{a} \end{eqnarray*}$

auf extrema zu überprüfen.

den pythagoras spart man sich so smile

sag ich doch Big Laugh

Die numerische Berechnung schenke ich mir allerdings Schläfer

Jedenfalls Danke, tigerbine.

18.06.2007, 17:40

tigerbine

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RE: Extremwert bei Funktionenschar
Ich wüßte nicht, wo Du das gesagt hast. In deiner Formulierung hast du einen Punkt abgeleitet. Augenzwinkern

Und es bedarf hier schon eines Kommentars über der Zusammenhang x-Koordinate und Länge der Strecke auf dem Graphen der Gerade. Dann kann man das so machen.

18.06.2007, 18:50

Ling-Ling

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RE: Extremwert bei Funktionenschar
Meine Intuition hat mich jedenfalls nicht getäuscht...

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