Variablentrennung

20.01.2005, 17:42

Anaiwa

Variablentrennung

Löse di folgene DGL mit den gegebenen Anfangsbedingungen. Für welches t existiert eine Lösung?

1)

$\begin{eqnarray*} \frac{dN}{dt}=\frac{2N}{t}~in~t>0~mit~N(1)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{N}~dN=\frac{2}{t}~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{N(1)}\frac{1}{N}~dN=2\int_{1}^{t}\frac{1}{t}~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [ln(N)]_{1}^{N(1)}=2[ln(t)]_{1}^{t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [ln(N(1)-ln(1))]=2[ln(t)-ln(1)] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(N(1))=2ln(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(\frac{N(1)}{t})=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{N(1)}{t}=e^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(1)=e^2\cdot t \end{eqnarray*}$

Also existiert die Lösung für folgenen tr:

$\begin{eqnarray*} 1=e^2\cdot t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t=\frac{1}{e^2} \end{eqnarray*}$

Stimmt die Rechnung?

20.01.2005, 18:01

iammrvip

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RE: Variablentrennung

Zitat:

Original von Anaiwa
$\begin{eqnarray*} ln(N(1))=2ln(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(\frac{N(1)}{t})=2 \end{eqnarray*}$

Wie kommst du denn darauf verwirrt

Du müsstest doch durch $\begin{eqnarray*} \ln t \end{eqnarray*}$ teilen und da würde stehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\ln N(1)}{\ln t} = 2 \end{eqnarray*}$

Was dir aber nicht viel bringen würde. Du kannst viel mehr Logarithmengesetze anwenden:

$\begin{eqnarray*} \ln N(1) = \ln t^2 \end{eqnarray*}$

ps: ich fände es leichter erst die DGL allgemein zu lösen und dann die Anfangsbedingung einzusetzen. Das geht leichter Augenzwinkern

20.01.2005, 18:06

Anaiwa

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[blablabla]

$\begin{eqnarray*} ln(N(1))=ln(t^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(\frac{N(1)}{t^2})=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{N(1)}{t^2}=e^0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(1)=e^0\cdot t^2 \end{eqnarray*}$

Also existiert die Lösung für folgenen tr:

$\begin{eqnarray*} 1=e^0\cdot t^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1=t^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1}=t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t=1 \end{eqnarray*}$

Aber nun?

20.01.2005, 18:09

iammrvip

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Zitat:

Original von Anaiwa
$\begin{eqnarray*} 1=t^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1}=t \end{eqnarray*}$

ACHTUNG. Immer, wenn du die Wurzel ziehst, gibt es zwei Lösungen; eine postive und eine negative.

$\begin{eqnarray*} 1=t^2 \Leftrightarrow t_{1/2} = \pm\sqrt 1 \end{eqnarray*}$

achte nun auch auf die Aufgabenstellung.

20.01.2005, 18:12

Anaiwa

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$\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{1}=t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_1=1~und~t_2=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_2 \end{eqnarray*}$ ist aber keine Lösung, da $\begin{eqnarray*} t>0 \end{eqnarray*}$ sein muss.

Also für t=1 ist das DGL lösbar.

20.01.2005, 18:13

iammrvip

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nein. wo ist die Wurzel hin verwirrt

$\begin{eqnarray*} t_1 = \sqrt 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t_2 = -\sqrt 1 \end{eqnarray*}$

Oben steht $\begin{eqnarray*} t < 0 \end{eqnarray*}$ verschrieben verwirrt

20.01.2005, 18:18

Anaiwa

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Sorry auf dem Aufgabenblatt steht t>0 hab es obenschon geändert.

warum t_2= ist doch -1 nach der Änderung und damit ist t_2 keine Lösung?

20.01.2005, 18:21

iammrvip

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Du hast deine Gleichung

$\begin{eqnarray*} t^2 = 1 \end{eqnarray*}$

Um diese nach t aufzulösen, musst du die Wurzel ziehen. Dabei gibt es aber zwei Lösungen:

$\begin{eqnarray*} t_1 = \sqrt 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t_2 = -\sqrt 1 \end{eqnarray*}$

Denn

$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt 1\right)^2 = 1 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \left(-\sqrt 1\right)^2 = 1 \end{eqnarray*}$

20.01.2005, 19:08

teenqueen

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... Schuldigung hast du ja schon geschrieben.

20.01.2005, 19:10

Anaiwa

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So nun Teil 2, hoffe das er richtig ist.

$\begin{eqnarray*} \frac{dN}{dt}=t^2N^2~mit~N(0)=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{3}^{N(0)}~\frac{1}{N^2}~dN=\int_{0}^{t}t^2~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [\frac{-1}{N}]_3^{N(0)}=[\frac{t^3}{3}]_0^t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [\frac{-1}{N(0)}+\frac{1}{3}]=[\frac{t^3}{3}] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{t^3}{3}-\frac{1}{3}}=N(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{t^3}{3}-\frac{1}{3}}=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}=\frac{t^3}{3}-\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}=t^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[3]{3}}=t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}=(\frac{1}{\sqrt[3]{3}})^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} also~t=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

20.01.2005, 19:23

etzwane

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Zitat:

Original von Anaiwa
So nun Teil 2, hoffe das er richtig ist.

$\begin{eqnarray*} \frac{dN}{dt}=t^2N^2~mit~N(0)=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{3}^{N(0)}~\frac{1}{N^2}~dN=\int_{0}^{t}t^2~dt \end{eqnarray*}$

Ich meine, du darfst bei dem Integral links als obere Grenze nicht N(0) schreiben, sondern nur N.
Denn: Die Variable ist N, und/aber N(0) ist der Wert von N für t = 0 mit N(0)=3, was ja schon in der unteren Grenze des Integrals erscheint.

Das Gleichung muss also richtig sein:
$\begin{eqnarray*} \int_{3}^{N}~\frac{1}{N^2}~dN=\int_{0}^{t}t^2~dt \end{eqnarray*}$

20.01.2005, 19:30

Anaiwa

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die Gleichung heist normal so:

$\begin{eqnarray*} N(t_0)=N_0~\to~N(0)=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{N_0}^{N(t)}~\frac{1}{N^2}~dN=\int_{t_0}^{t}t^2~dt \end{eqnarray*}$

Mhh hast recht!

$\begin{eqnarray*} \int_{3}^{N(t)}~\frac{1}{N^2}~dN=\int_{0}^{t}t^2~dt \end{eqnarray*}$

Dann ist aber auch aufgabe eins von mir oben falsch!

20.01.2005, 19:40

etzwane

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Zitat:

Original von Anaiwa
$\begin{eqnarray*} [\frac{-1}{N(0)}+\frac{1}{3}]=[\frac{t^3}{3}] \end{eqnarray*}$

bis hierher ist es richtig, wenn du N(0) durch N ersetzt. Danach sehe ich auch einen Vorzeichenfehler.

Das Ergebnis ist dann eine Funktion N(t) von t.

20.01.2005, 19:45

iammrvip

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noch ein Tipp: Warum so schwere Integrale verwirrt

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm dN}{\mathrm dt}=t^2N^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\frac{\mathrm dN}{N^2}=\int \mathrm t^2dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{N} = \frac{t^3}{3} + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(t) = \frac{3}{3C - t^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(0) = 3 = \frac{3}{3C - 0} \Leftrightarrow C = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

also lautet die partikuläre Lösung der DGL:

$\begin{eqnarray*} N(t) = \frac{3}{1 - t^3} \end{eqnarray*}$

20.01.2005, 19:53

Anaiwa

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$\begin{eqnarray*} N(t_0)=N_0~\to~N(0)=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{N_0}^{N(t)}~\frac{1}{N^2}~dN=\int_{t_0}^{t}t^2~dt \end{eqnarray*}$

Mhh hast recht!

$\begin{eqnarray*} \int_{3}^{N(t)}~\frac{1}{N^2}~dN=\int_{0}^{t}t^2~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [-\frac{1}{N}]_3^{N(t)}=[\frac{1}{3}t^3]_0^t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{t^3-1}=3N(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(t)=\frac{3}{t^3-1};~mit~t\neq1 \end{eqnarray*}$

Für Welche t existiert die Lösung: Für alle t aus t=1.

---------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} \frac{dN}{dt}=\frac{2N}{t}~in~t>0~mit~N(1)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{N}~dN=\frac{2}{t}~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{N(t)}\frac{1}{N}~dN=2\int_{1}^{t}\frac{1}{t}~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [ln(N)]_1^{N(t)}=[ln(t^2)]_1^t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(N(t))=ln(t^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^0=\frac{N(t)}{t^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(t)=t^2 \end{eqnarray*}$ komische ist nur, das hier t beliebig sein kann da es ja immer positiv wird

Für Welche t existiert die Lösung: Für alle t. aber oben steht ja t>0 oder gild das nur für die Angangsbedingung?

20.01.2005, 20:00

iammrvip

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Zitat:

Original von Anaiwa

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{t^3-1}=3N(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(t)=\frac{3}{t^3-1};~mit~t\neq1 \end{eqnarray*}$

du meinst:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{t^3-1} = \frac{1}{3} N(t) \end{eqnarray*}$

oder verwirrt

20.01.2005, 20:05

Anaiwa

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Ich kann doch nicht die N(1) nehmen, das haeb wir doch grad bei der zweitengleichung gesehen, das da ein fehler war!!

$\begin{eqnarray*} N(t)\neq N(t_0) \end{eqnarray*}$

deshalb habe ich nocheinmal alles mit N(t) gerechnet!!

20.01.2005, 20:06

iammrvip

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ich hab grad was verwechselt und schnell wieder rausgelöscht Augenzwinkern

. war zu langsam.

/edit: das meinte ich in meine vorletzen Beitrag. Das ganz Gemache mit den Grenzen kann man umgehen, indem man einfach die allgemein Lösung ausrechnet und nach einfach die Anfangsbedingung einsetzt und nach C auslöst Freude

20.01.2005, 20:08

Anaiwa

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also stimmt nun beides?

das komsiche ist doch aber bei der ersten Gleichung, das t^2 alle beliebigen zaheln annehmen kann.

wieso steht dann da oben t>0 war das nut für die anfangsbedingung? und nun kann ich schreiben für alle t ist GDL lösbar?

und für zweitens darf t nicht eins sein?

20.01.2005, 20:13

iammrvip

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/edit: das musst du ja gar nicht berechnen.

also es stimmt $\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$ . Also kann man alle Werte $\begin{eqnarray*} t > 0 \end{eqnarray*}$ einsetzen.

Bei der zweiten:

$\begin{eqnarray*} N(t)=\frac{3}{t^3-1};~t\neq1 \end{eqnarray*}$

Können wir alles Zahlen einsetzen die ungleich 1 und größer null sind.

20.01.2005, 20:19

Anaiwa

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$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{N(1)}\frac{1}{N}~dN=2\int_{1}^{t}\frac{1}{t}~dt \end{eqnarray*}$

FEHLER N(1) muss unbedingt durch N(t) ersetzt werden

da ja $\begin{eqnarray*} N(t_0)=N_0 \end{eqnarray*}$ ist und ich hatte doch den gleichen Fehler gemacht wie bei der zweiten!!

Schau bitte nocheinmal hin ich denke das ich recht habe. Da du mir bei der Aufgabe 2 den Kopfgewachen hast!!

20.01.2005, 20:20

Anaiwa

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Zitat:

Original von iammrvip

$\begin{eqnarray*} N(t)=\frac{3}{t^3-1};~t\neq1 \end{eqnarray*}$

Können wir alles Zahlen einsetzen die ungleich 1 und größer null sind.

wieso größer Null man kann dich auch negeative zahlen einsetzen, da doch nie null unten rauskommt.

in der aufgabe stand ja keine begranzung für null.

21.01.2005, 17:17

iammrvip

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N(1) musst du einfach durch N(t) ersetzen. Dann stimmt das bei beiden. Es ist aber noch ein Vorzeichenfehler drin. Ich schreibe dir ausnahmsweise mal den Lösungsweg auf, dass du auch alles nochmal richtig übersichtlich siehst, da es doch etwas undurchsichtig geworden ist Augenzwinkern

.

Vor allem möchte ich dir eine andere Variante zeigen, die meiner Meinung nach schneller geht. Du kannst dir das raussuchen, was der mehr liegt Freude

.

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm dN}{\mathrm dt} = \frac{2N}{t};~t>0, N(1)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\limits_1^{N(t)}\frac{\mathrm dN}{N} = \int\limits_1^t\frac{2}{t}\mathrm dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[\ln|N(t)|\right]_1^{N(t)} = \left[2\ln|t|\right]_1^t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln N(t) - \ln 1 = \ln t^2 - \ln 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(t) = t^2 \end{eqnarray*}$

Die partikuläre Lösung der obigen Differentialgleichung lautet also $\begin{eqnarray*} N(t) = t^2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm dN}{\mathrm dt}=t^2N^2; N(0)=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\limits_3^{N(t)}\frac{\mathrm dN}{N^2} = \int\limits_0^t t^2\mathrm dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[-\frac{1}{N}\right]_3^{N(t)} = \left[\frac{t^3}{3}\right]_0^t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{N(t)} + \frac{1}{3} = \frac{t^3}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{N(t)} = \frac{t^3 - 1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(t) = -\frac{3}{t^3 - 1}; t\neq 1 \end{eqnarray*}$

Die partikuläre Lösung der obigen Differentialgleichung lautet also $\begin{eqnarray*} N(t) = -\frac{3}{t^3 - 1} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t \neq 1 \end{eqnarray*}$

--------------------------------------------------------------------------------------

Anderer Lösungsweg:

Du löst einfach die DGL allgemein, und bestimmst danach über die Anfgangsbedigung die Integrationskonstante C. Dabei ist aber auf Genauigkeit im Umgang mit der gleichen zu achten, da es sonst zu Abweichungen kommt.

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm dN}{\mathrm dt} = \frac{2N}{t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\frac{\mathrm dN}{N} = \int\frac{2}{t}\mathrm dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln|N| = \ln|t^2| + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(t) = c_1 t^2; c_1 = \pm \mathrm e^c \end{eqnarray*}$

Anfangsbedingung einsetzen:
$\begin{eqnarray*} N(1) = 1 = c_1\cdot 1^2 \Rightarrow c_1 = 1 \end{eqnarray*}$

Somit lautet die partikuläre Lösung der ersten DGL:

$\begin{eqnarray*} N(t) = t^2~~\forall~t > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm dN}{\mathrm dt} = t^2N^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\frac{\mathrm dN}{N^2} = \int t^2\mathrm dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{N} = \frac{t^3}{3} + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(t) = -\frac{3}{t^3 + 3C} \end{eqnarray*}$

wieder die Anfangsbedingung einsetzen:
$\begin{eqnarray*} N(0) = 3 = -\frac{3}{0^3 + 3C} \Rightarrow C = -\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Danach heißt die parikuläre Lösung hier:

$\begin{eqnarray*} N(t) = -\frac{3}{t^3 - 1}; t\neq 1 \end{eqnarray*}$

/edit: Wie man sieht, kann man bei der zweiten Lösungsmöglichkeit, die Grenzen und das damit verbunden einsetzen der Integrale umgehen. Man muss aber wie gesagt darauf achten, dass man die Integralkonstante nicht "vereinfacht".

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