Fläche unter gebrochen-rationaler Funktion

18.06.2007, 15:20

w³

Fläche unter gebrochen-rationaler Funktion

Hallo Gemeinde! smile

Könntet ihr mir bitte bei dieser Rechnung weiterhelfen?

Gegeben ist die Funktion f mit $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^3-3x+2}{(x+1)^2} \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie die Fläche, die der Graph von f im 1. Quadranten mit den Koordinatenachsen einschließt.

Nullst.: x=-2 und x=1 (doppelte Nullst., einzige im 1. Quadranten)

A: $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~ \frac{x^3-3x+2}{(x+1)^2} ~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_{0}^{1}~ \frac{x^3-3x+2}{x^2+2x+1} ~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \left [\frac{\frac{x^4}{4}-\frac{3}{2}x^2+2x}{\frac{x^3}{3}+x^2+x} \right]_{0}^1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{9}{28} FE \end{eqnarray*}$

Die Lösung sagt aber:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_{0}^{1}~\left(x-2+\frac{4}{(x+1)^2}\right)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \left[ \frac{x^2}{2} -2x- \frac{4}{x+1} \right]_{0}^1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Ist mein Rechenweg falsch und wie kommt die Lösung auf die Umformung $\begin{eqnarray*} = \int_{0}^{1}~\left(x-2+\frac{4}{(x+1)^2}\right)~dx \end{eqnarray*}$ ?

18.06.2007, 15:28

tmo

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du kannst gebrochenrationale funktionen nicht einfach so integrieren wie ganzrationale funktionen.

in diesem falle wurde die polynomdivision durchgeführt, sodass man die dann entstehenden summanden jeweils einfach integrieren kann.

18.06.2007, 15:37

klarsoweit

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RE: Fläche unter gebrochen-rationaler Funktion

Zitat:

Original von w³
$\begin{eqnarray*} = \int_{0}^{1}~ \frac{x^3-3x+2}{x^2+2x+1} ~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \left [\frac{\frac{x^4}{4}-\frac{3}{2}x^2+2x}{\frac{x^3}{3}+x^2+x} \right]_{0}^1 \end{eqnarray*}$

Es ist immer wieder erstaunlich, wie einfach Integralrechnung sein kann. Man bastelt sich schnell mal die Regel: man integriert einen Bruch aus 2 Funktionen, indem man Zähler und Nenner für sich integriert, und schon geht's. Ich frage mich nur, wie man auf solch einen Bolzen kommen kann. verwirrt

Mit deiner "Regel" kann man ja auch ganz simpel sowas lösen:
$\begin{eqnarray*} \int~\frac 1 x~dx = \frac{x}{0,5 \cdot x^2} = \frac 2 x \end{eqnarray*}$

Einfach genial. Augenzwinkern

18.06.2007, 16:35

w³

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Zitat:

Original von tmo
du kannst gebrochenrationale funktionen nicht einfach so integrieren wie ganzrationale funktionen.

in diesem falle wurde die polynomdivision durchgeführt, sodass man die dann entstehenden summanden jeweils einfach integrieren kann.

Danke, da hätte ich selbst schon drauf kommen müssen, da es ja auch bei der Differenzierung gebr. rat. Funktionen entsprechende Regeln gibt.

Andererseits habe ich zum 1. Mal ne gebr. rat. Fkt. integriert ohne etwas darüber gelesen zu haben, da darf ich doch mal Mist bauen Augenzwinkern

Jetzt sind es $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ !

Zitat:

Original von klarsoweit
Einfach genial. Augenzwinkern

Ich weiß

Grüße

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