Konvergenz einer Reihe von Zufallsgrößen

18.06.2007, 21:02	DocHoliday	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Reihe von Zufallsgrößen Also die Aufgabe ist folgende: Sei $\begin{eqnarray} (X_{n}) n \varepsilon \mathbb{N} \end{eqnarray}$ eine Folge stochastisch unabhängiger, reelwertiger Zufallsgrößen. Zeigen sie: Es gibt ein $\begin{eqnarray} R \varepsilon [0, \infty ] \end{eqnarray}$ so dass die Potenzreihe $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty X_nz^n \end{eqnarray}$ für \|z\| < R P-fast sicher konvergiert, und für \|z\| > R P fast sicher divergiert. Als Tip haben wir bekommen, dass der Konvergenzradius einer Potenzreihe logischerweise $\begin{eqnarray} \frac{1}{lim sup \sqrt[n]{\|X_n\|}} \end{eqnarray}$ ist, und dass das 0,1 Gesetz von Kolmogorov ne Rolle spielt, welches ja sagt, dass für ne Folge von unabhängigen Ereignissen $\begin{eqnarray} (A_n)_n \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} P(lim sup A_n) \varepsilon \{ 0,1 \} \end{eqnarray*}$ Mein Problem ist, dass ich nicht recht weiss wie ich anfangen soll. Der Konvergenzradius nutzt mir ja noch nicht viel, ich weiss ja über die Xn noch nichts ausser dass sie unabhängig sind. Und Kolmogorov nutzt ja auch noch nichts, da ich die wahrscheinlichkeit vom limes superior ja gar nicht brauche (oder?). Für nen Tip wie man anfangen könnte wäre ich sehr dankbar

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