3 Schnittpunkte ---> Funktionsgleichung

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kapiert?nö Auf diesen Beitrag antworten »
3 Schnittpunkte ---> Funktionsgleichung
Hallo!!
Wie bestimmt man die Funktinsgleichung einer Parabel wenn man 3 bestimmte Punkte vorgegeben hat, z.B.:
A (-2/2)
B (-3/1)
C (-1/5)

Ich weiß, dass es drei Verfahren (Additionsverfahren, Einsetzungsverfahren & Gleichsetzungsverfahren) gibt und müsste für die nächste Schulaufgabe alle drei kennen und beherrschen ...
Wäre echt sehr nett, wenn mir jemand diese Aufgabe in den drei Verfahren einmal schrittweise vorrechnen könnte, da ich sonst auch immer nur ansatzweise eine Anleitung (zum Teil unverständlich) gefunden habe!!
Danke schonmal im Vorraus für euer Bemühen =)
.:*wilay*:. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 3 Schnittpunkte ---> Funktionsgleichung
Soweit ich weiß, wendet man diese Verfahren bei Linearen Gleichungssystemen an, um die Schnittpunkte herauszufinden, die du ja shcon gegeben hast verwirrt
Eventuell ist bei dir eine Zeichnerische lösung gefordert?
Dann könntest du die Lösung ganz normal vom Graphen ablesen.
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 3 Schnittpunkte ---> Funktionsgleichung
Die Parabel soll wohl durch diese Punkte gehen?
Sie soll der Graph einer quadratischen Funktion sein?

Boardsuche "Steckbriefaufgaben" hilft da weiter. Mal lesen, dann hier loslegen Wink
kapiert?nö Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Parabel soll durch diese Punkte gehen und ja, es soll eine Quadratische Funktion dabei herauskommen ... in der Form ax²+bx+c !!

Bei Steckbriefaufgaben finde ich immer nur teilweise Lösungsansätze ...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ja einen kompletten sollst Du Dir doch auch selbst erarbeiten Big Laugh



3 Punkte sind gegeben. Die Übersetzung bitte! Augenzwinkern

EDIT: Die Verfahren zum Nachlesen
kapiert?nö Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe bereits bei Wikipedia geschaut, verstehe aber nicht, wie ich von den 3 Punkten plötzlich zu 2 Gleichungen komme, die ich - je nach Verfahren - gleichsetze, subtrahiere oder sonstwas ... mir schwirrt auch total der Kopf weil ich hierdran schon den ganzen Tag sitze ...

Was für eine Übersetzung?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, die "drei Punkte liegen auf der Parabel" bedeutet mit f(x)=y was?
kapiert?nö Auf diesen Beitrag antworten »

Hää??
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Allgemein haben wir die Parabel so geschrieben:



Nun liegt der Punkt auf der Parabel. Was ist dann ?
kapiert?nö Auf diesen Beitrag antworten »

Ja y oder? Ich versteh irgendwie den Sinn der Frage nicht ... =) ... vielleicht bin ich im Moment einfach zu blöd dafür =)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denk du hast meine Links auch gelesen? Dann solltest Du wissen auf was ich hinaus will. Wir wollen ja a,b,c bestimmen. Also denk nochmal nach. Augenzwinkern
kapiert?nö Auf diesen Beitrag antworten »

Im Moment versteh ich nix ... ja wir wollen a.b & c herausfinden!! Ich bräuchte für jedes Verfahren einfach nur mal ein komplettes Beispiel und dann würde ich wissen wie das ganze funktioniert!!

Also wenn ich jetzt anfangen würde, diese Aufgabe zu lösen, würde ich so anfangen:
A (-2/2)
B (-3/1)
C (-1/5)

(1) 2= 4a + 2b + c
(2) 1= 9a - 3b +c
(3) 5= a - b + c

... also die Punkte in die Funktion f(x) einsetzen!!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

also das war die richtige Idee. Wir müssen erst mal das LGS aufstellen, bevor wir an die Lösungsverfahren gehen. Leider hast Du Fehler drinne.









Zitat:
Wie der Name schon im Ansatz verrät, werden mit Hilfe des Additionsverfahren Gleichungen addiert. Dies geschieht in der Regel so, dass eine oder gleich mehrere Variablen (Unbekannte) in den Gleichungen eliminiert werden.


Wie würdest Du also vorgehen, wenn Du nur mit diesem Verfahren rechnen darfst?
kapiert?nö Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab einen Fehler drinnen Augenzwinkern ... Flüchtigkeitsfehler =)

" ...Variablen (Unbekannte) in den Gleichungen eliminiert werden ..."
Also die Gleichungen umstellen (oder?!) ... in diesem Fall am besten nach c, also:

(1) c= -4a + 2b + 2
(2) c= -9a + 3b + 1
(3) c= -a + b + 5
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, dass wäre das Prinzip vom Gleichsetzungsverfahren. Schau noch mal ins Wiki.







Nun schmeißen wir das c raus. Wir rechen I-II und II-III. Erhalten:





Nun kannst Du wie im wiki weitermachen.
kapiert?nö Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat aus meinem Matheheft:
"Def.:
Additionsverfahren
Man multipliziert die Gleichungen so geeignet mit einer Zahl, dass beim addieren von Gleichungen Variablen wegfallen."

Wo multiplizieren wie hier was? Und wie viele Variablen sollen eigentlich wegfallen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Da alle cs eine 1 als Koeffizient hatten, spart man in diesem Schritt das Multiplizieren. Nun multiplizierst Du mal so, dass b rausfällt. Bleibt eine Gleichung für eine Unbekannte a.
kapiert?nö Auf diesen Beitrag antworten »

Wart ... ich hab grad nochmal bei Wiki geguckt, ich glaub ich habs ... also:
(1) -5a + 1b = 1
(2) 8a - 2b = -4

Dann form ich Gleichung (1) um:
(1) -5a + 1b = 1 /*2
(1') - 10a + 2b = 2

Jetzt addiere ich (1') & (2):
(-10a + 2b) + (8a - 2b) = 2 - 4
-10a + 2b + 8a - 2b = -2
-2a = -2 /: (-2)
a = 2

Einsetzen in Gleichung (1) und Umformen:
(1) -5 + 1b = 1
b = 6

Einsetzen von a & b in ursprüngliche Gleichung um c herauszufinden:
4a - 2b + 1c = 2
4 - 12 + 1c = 2
c = 10

Das heißt die Quadratische Funktion f(x)= ax²+ bx +c würde lauten:
f(x)= x² + 6x + 10


???
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »





Nun rechnest Du 2I' + II'. Raus kommt:



Nach a umstellen:



In I' einsetzen:



Nach b umstellen:



In I einsetzen:



Nach c auflösen:



Macht:





du hast oben bei a einen Schreibfehler. nun kennst du die Lösung versuche mal die andreen Verfahren. Ich bin bis 19.00 off Wink
Venus² Auf diesen Beitrag antworten »

Nur so als Anmerkung:

Wenn du eine quadratische Gleichung raushast, auf der alle gegebenen Punkte liegen sollen, dann kannst du auch die Probe machen, ob die gefundene quadratische Gleichung richtig ist.

Du setzt einfach die Punkte ein, und wenn du für alle Punkte, die du in die gefundene quadratische Gleichung einsetzt, eine wahre Aussage erhälst, dann ist sie richtig.
kapiert?nö Auf diesen Beitrag antworten »

@ Anne-So 5:
Kannst du mir das bitte ganz kurz an unserm Beispiel zeigen ... ich denke heute nicht mehr so schnell smile

@ tigerbine:
Ja, stimmt, bei a hat sich ein Schreibfehler eingeschlichen Augenzwinkern
Mhm, wenn du bist 19:00 Uhr off bist, versuche ich derzeit schonmal die anderen Verfahren zu "testen" ... was dabei rausgekommen ist, wirst du natürlich schnellstmöglich erfahren =D
Aber erstmal: DANKE DANKE DANKE ... ich glaub ich sollte dich als private Nachhilfelehrerin anstellen Augenzwinkern

So, eins habe ich noch auf dem Herzen:

Zusammenfassung vom Additionsverfahren [ Und Fragen in den eckigen Klammern =)] (bitte korrigier mich!!):

1. Einsetzung der Koordinaten in die Gleichung f(x)= ax² + bx + c

2. Gleichung (1) – (2) & (2) – (3) [ Ist das manchmal auch andersrum oder immer 1-2 & 2-3 ?]

3. Umformung einer der 2 übriggebliebenen Gleichungen, sodass eine Variable wegfallen kann [Klappt das immer so problemlos?]

4. Addition der Gleichungen --> eine Variable bleibt übrig

5. Einsetzen dieser in eine von Punkt 3. ausgerechneten Gleichungen, Umformung --> 2. Variable aufgelöst

6. Einsetzen beider bekannter Variablen in einer Gleichung von Punkt 1. Umformung --> 3. Variable gelöst

FERTIG!!


Stimmt das so? Hast du vielleicht eine Übungsaufgabe für mich??
angelo Auf diesen Beitrag antworten »

wenn wir schon dabei sind , habe ich auch ne frage .

kann man da nicht einfach

Satz von Vieta anwenden ?

(sry für die dumme frage )
.:*wilay*:. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von angelo
wenn wir schon dabei sind , habe ich auch ne frage .

kann man da nicht einfach

Satz von Vieta anwenden ?

(sry für die dumme frage )

Ja, aber um die Probe zu machen, nicht um die Lösung an sich rauszubekommen, oder ?
kapiert?nö Auf diesen Beitrag antworten »

Tigerbine - wir brauchen dich smile
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

@ angelo:

Überlege einmal was Dir der Satz von Vieta sagt. Zunächst muss ein normiertes Polynom vorliegen. D.h. a=1. Dann müssen als Punkte die Nullstellen gegeben sein. Macht hier alles wenig Sinn.

@.:*wilay*:.

Wie willst Du mit Vieta die Probe machen? Es sind bislang noch keine Nullstellen bestimmt worden.

@Kn?

Zusammenfassung. Wort wörtlich stimmt das so natürlich nicht i.A. Um das Additionsverfahren anwenden zu können braucht du 2 Gleichungen. Durch Multiplizieren und anschließendes Addieren (siehe wiki) beseitigt man dan eine Variable.

Insgesamt braucht man n verschiedene Gleichungen für n Variablen. Pro schritt reduziert man dann um eine Variable und Gleichung.

3 Gleichungen -> c fliegt raus -> 2 Gleichungen -> b fliegt raus -> 1 Gleichung -> a wird bestimmt -> b wird bestimmt -> c wird bestimmt.

Bei der Reihenfolge der Variablenbeseitigung hast Du freie Hand, hier bot sich selbige eben an.
kapiert?nö Auf diesen Beitrag antworten »

Aber man könnte meine Zusammenfassung so nehmen? Sie soll ja auch nciht öffentlich oder so werden ... nur so für mich für meine Schulaufgabe am Freitag Augenzwinkern
So gleich - nach dem Abendessen - muss ich dich wegen dem Gleichsetzungsverfahren löchern ... weil irgendwas klappt da bei mir nicht =)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich meine damit, dass sie so wie sie dasteht nur auf dieses Beispiel passt. Und keine Musteranleitung für deine Schulaufgabe ist. Musteranleitung wäre stures Vorgehen:

Zitat:

3 Gleichungen -> c fliegt raus -> 2 Gleichungen -> b fliegt raus -> 1 Gleichung -> a wird bestimmt -> b wird bestimmt -> c wird bestimmt.


Aber es kann auch mal geschickter sein erst a, dann c dann b. Hängt von der Aufgabe ab.
kapiert?nö Auf diesen Beitrag antworten »

Und was ist mit meiner Frage in der eckigen Klammer bei 2. in der Zusammenfassung (die eigentlich keine ist) ??
Und der Frage ganz unten drunter, ob du vllt eine Übungsaufgabe für mich hast? smile
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
[Klappt das immer so problemlos?]


Das hängt ganz von den Punkten ab und was Du unter problemlos verstehst. In der Schule, da es konstuierte Aufgaben sind, sollte das machbar sein.

Ich dachte wir machen noch die anderen Verfahren? verwirrt

Übungsaufgabe kannst du dir selbst basteln. Denk dir eine quad. Funktion aus. Wahle 3 Punkte auf dem Graphen aus (Ist die Probe, die Du sonst machen sollst) und prüfe, ob du die Funktion aus diesen rekonstruieren kannst. Augenzwinkern
kapiert?nö Auf diesen Beitrag antworten »

"2. Gleichung (1) – (2) & (2) – (3) [ Ist das manchmal auch andersrum oder immer 1-2 & 2-3 ?]" --> Ich meinte die da Big Laugh

Wenn ich die mir selber ausdenke ... soll ich dann am besten eine Wertetabelle oder so erstellen? Und daraus irgendwelche Punkte nehmen?

Ja, ich bin gerade dabei meinen halb-gescheiterten Versuch vom Gleichsetzungsverfahren abzutippen ... das dauert imemr so lang, mit den ganzen Zahlen Augenzwinkern
kapiert?nö Auf diesen Beitrag antworten »

So ... jetzt kommt mein Gleichsetzungverfahren ...
A (-2/2)
B (-3/1)
C (-1/5)

Einsetzen in f(x)= x² + bx + c
(1) 2= 4a - 2b + c
(2) 1= 9a + 3b + c
(3) 5= a – b + c

Umformen
(1) c= 2 + 2b – 4a
(2) c= 1 – 9a + 3b

Gleichsetzen
2 + 2b – 4a = 1 – 9a + 3b
*rechnen*
--> b = 5a + 1

So und nun? Eigenltich müsste ich das ja jetzt irgendwo einsetzen, also das b, oder? Wo?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Grundidee ist richtig. Aber wie vorhin auch. Du musst (1)=(2) und (2)=(3) rechnen. Das gibt 2 Gleichungen. Die dann auch wieder Gleichsetzen.
kapiert?nö Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kapiert?nö
"2. Gleichung (1) – (2) & (2) – (3) [ Ist das manchmal auch andersrum oder immer 1-2 & 2-3 ?]" --> Ich meinte die da Big Laugh

Wenn ich die mir selber ausdenke ... soll ich dann am besten eine Wertetabelle oder so erstellen? Und daraus irgendwelche Punkte nehmen?

Ja, ich bin gerade dabei meinen halb-gescheiterten Versuch vom Gleichsetzungsverfahren abzutippen ... das dauert imemr so lang, mit den ganzen Zahlen Augenzwinkern


Und was ist damit?? Letzter Beitrag auf Seite 2 Augenzwinkern
Solange probier ich dann nochmal das Gleichsetzungsverfahren aus ...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Hauptsache 2 verschiedene Kombinationen. Also 1-2 und 2-1 wäre nicht erlaubt. Sonst ist egal. Schreib bitte immer nur eine Antwort. Beim Seiten Umbruch habe ich diesen Post gar nicht gesehen, da ich zum letzen neuen Beitrag springe Augenzwinkern
kapiert?nö Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich achte drauf ... war nur so im Eifer des Gefechts Augenzwinkern
Jetzt häng ich schon wieder ... vorhin hatten wir raus a= 1 und jetzt bekomm ich die ganze Zeit -1 raus ... vielleicht tipp ich das hier mal ab:

Also noch (3) nach c umformen:
(3) 5= a – b + c
c= 5 - a + b

Dann mit (2) gleichsetzen:
5 - a + b = 1 - 9a + 3b /-b, -1, +9a
4 + 8a = b

Gleichsetzen mit dem Erbenis vom (1) = (2) --> b = 5a + 1:
4 + 8a = 5a +1 /-5a, -4
3a = -3 /:3
a = -1

??? vorhin hatten wir was anderes raus !!!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »







Umstellen nach c:







Gleichsetzen I=II, II=III:









Nach b umstellen:





Wieder Gleichsetzen I'=II'



kapiert?nö Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man ... bin ich dumm, ich hab einfach vergessen durch 2 zu teilen ...
Okay, jetzt weiß ich das a= 1 und kann das in b= 5a + 1 einsetzen:
b= 6 *tadaa* Augenzwinkern

Und dann ... setze ich a und b in eine Glechung vom Anfang ein?? Mal ausprobieren, nehme ich die Gleichung: c= 2 + 2b - 4a
c= 2 + 12 -4
c= 10

Okay - das stimmt dann also ... hey nochmal danke für alles ... mit dem Einsetzungsverfahren können wir dann ja vielleicht morgen weiter machen ... jetzt will nämlich jemand anders meinen Computer in Beschlag nehmen böse ... najaa ...

Noch eine Frage vorher: Welches Verfahren sollte man wann nehmen? Oder welches "empfiehlst" du? Oder welches ist das Schnellste? Oder, oder, oder?? smile
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Da fragst du mal in der Schule nach, ob es Dir freigestellt wird oder vorgeschrieben. Allgemein wird man das Gaußsche Eliminationsverfahren für solche Aufgaben nehmen.
kapiert?nö Auf diesen Beitrag antworten »

Ähhhh ... jaa verwirrt
Ich glaub das sollen wir nicht nehmen ... oder ehergesagt ich würde viiiiiiiel zu lange brauchen um es zu verstehen ... und warscheinlich ist es auch eher für kompliziertere Aufgaben gedacht, oder??
Also dann bis morgen Wink

Ah stop ich wollte einmal das Latex-Dingsda ausprobieren
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kapiert?nö
... und wahrscheinlich ist es auch eher für kompliziertere Aufgaben gedacht,


nein, ist hier auch leicht anwendbar. Aber wenn ihr das nicht hattet, machen wir das auch nicht.

So long Wink
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