Lineare Abhängigkeit bei Vektoren mit Variablen

19.06.2007, 17:42

dschann

Lineare Abhängigkeit bei Vektoren mit Variablen

Wie muss die reelle Zahl a gewählt werden, damit die Vektoren linear abhängig sind?

(a / -3 / 5), (1 / -a / 2), (-2, -2, 2a)

Ich übertrag das dann in ein LGS und versuche, dass eine Zeile 0 wird. Dann ist immerhin sicher, dass es unendlich viele Lösungen geben kann.

Bei dem LGS komm ich aber auf keinen logischen Rechenschritt, geschweige denn auf ein Ergebnis.

Vielen Dank schon mal im Voraus!

Can

19.06.2007, 17:49

system-agent

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die drei vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn die gleichung
$\begin{eqnarray*} \alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=0 \end{eqnarray*}$
nur für $\begin{eqnarray*} \alpha=\beta=\gamma=0 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist (wobei $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_3 \end{eqnarray*}$ deine vektoren sind.)

wie könnte man nun die gleichung stören, so dass sie nicht mehr nur für $\begin{eqnarray*} \alpha=\beta=\gamma=0 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist?

19.06.2007, 17:56

dschann

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alpha ungleich null oder beta ungleich null oder gamma ungleich null

19.06.2007, 21:54

system-agent

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und wie kriegt man das hin in abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ? ich würde erstmal bestimmen, für welche $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ die vektoren linear unabhängig sind und dann wählst du eben dein $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ genau irgendwie anders

19.06.2007, 22:34

AnalysisTutor

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In diesem Fall geht es noch mit der Determinante recht einfach. Die Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn die Determinante gleich Null ist.

20.06.2007, 02:15

mYthos

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Zitat:

Original von system-agent
und wie kriegt man das hin in abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ? ich würde erstmal bestimmen, für welche $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ die vektoren linear unabhängig sind und dann wählst du eben dein $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ genau irgendwie anders

Genau das wird fehlschlagen. Denn es wird sicher mehrere (unendlich viele) a geben, für die die Vektoren lin. unabh. sind, und wohl nur wenige (genau genommen nur ein reelles Big Laugh

), für die das Gegenteil zutrifft!

[Kontr.: a = 1]

mY+

20.06.2007, 12:28

Sandara

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Hallo,

das hatten wir gestern auch in Mathe wiederholt (-->Klausur am Do.) und zwar mit folgenden Vektoren:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ a \\ 3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 3a \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wir haben die Vektoren als Linearkombination mithilfe von Koeffizienten dargestellt:

$\begin{eqnarray*} r\cdot\begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ a \\ 3 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 3a \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}= \vec{0} \end{eqnarray*}$

Genau daraus ergibt sich ein LGS und man könnte zwar auslösen, bis ein Koeffizient 0 ergibt, aber der Lehrer stoppte vorher ab und definierte, wann der Koeffizient 0 ergibt und wann die Variable a null ergibt.

hilft dir das weiter?

Grüße
Sandra

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