Kurvenschar

19.06.2007, 18:10

Berlinerin 89

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Kurvenschar

Muss zu morgen eine Kurvenschar machen und die wird benotet traurig

traurig

hab sie schon gelöst, hoffe jedoch richtig ! Wäre total lieb, wenn mir jemand das sagen könnte!

fa(x)=-2x³+ax²

Definitionsbereich: D=R
Symmetrie: keine Symmetrie wegen einem geradem und einem ungeradem Exponenten

Nullstellen: f(x)=0
fa(x)=-2x³+ax² = x²(-2x+a) =0
=>x1= 0 und x2= a/2

Ableitungen: denke ma, ich hab das richtig^^

Extrema: fa'(x)=0 unf fa''(x)>0 oder fa''(x)<0
fa'(x)=-6x²+2ax = 2x (-3x+a) =0
=>x1=0
y=-2(0)³ + a(0)² =0
fa''(0)=2a>0 => Tiefpunkt (0/0)

=>x2=a/3 >0
y2=-2(a/3)³+a(a/3)² =-2 (a³/27)+a(a²/9) =.... -4a + 2a = 2a < 0
=> Hochpunkt (a/3 | a/3)

Wendepunkt:
x=a/2 und y=0
somit fa'''(a/2) = -12 ungleich 0
=> Wendepunkt (a/2 | 0)

wenn mir noch jemand beim Verhalten im Unendlichen helfen könnte...das wäre super! Gott

Gott

19.06.2007, 18:14

Cordovan

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Ich habe das jetzt nicht alles nachgerechnet, aber zwei Dinge:

1. Ist a irgendwie eingeschränkt? (a<0, a>0)
2. Du machst da irgenwie widersprüchliche Aussagen:

Zitat:

fa''(0)=2a>0

Zitat:

y2=2a<0

Cordovan

19.06.2007, 18:17

Berlinerin 89

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nein, a ist nicht eingeschränkt!
und fa''(0)= 2a > 0 soll einfach heißen, dass die 2te Ableitung an dieser Stelle (0) den "x"wert 2a besitzt, welcher größer als Null ist und somit ein Tiefpunkt ist?!?!

19.06.2007, 18:24

vektorraum

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RE: Kurvenschar

Zitat:

Original von Berlinerin 89

Extrema: fa'(x)=0 unf fa''(x)>0 oder fa''(x)<0
fa'(x)=-6x²+2ax = 2x (-3x+a) =0
=>x1=0
y=-2(0)³ + a(0)² =0
fa''(0)=2a>0 => Tiefpunkt (0/0)

Na das darfst duja mal nicht so einfach machen. Denn an der Stelle kann sehr wohl auch ein Hochpunkt liegen und zwar genau dann, wenn a negativ ist. D.h. du musst hier Fallunterscheidungen machen. Was ist denn wenn a=0 ist???

Genauso beim anderen Extrempunkt!

19.06.2007, 18:26

Berlinerin 89

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dann ist die zweite Ableitung an der Stelle null auch null oder?

19.06.2007, 18:29

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Zitat:

Original von Berlinerin 89
dann ist die zweite Ableitung an der Stelle null auch null oder?

Ja - und weiter?

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19.06.2007, 18:29

Berlinerin 89

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was ist das denn dann? Ein Sattelpunkt?

19.06.2007, 18:35

vektorraum

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Was muss dann an der Stelle für einen Sattelpunkt gelten???

$\begin{eqnarray*} f'(0)=0,~~~f''(0)=0,~~~f'''(0)\neq 0 \end{eqnarray*}$

Ist das alles erfüllt, so handelt es sich um einen Sattelpunkt. Bedenke aber, dass dies nur für $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ gilt, für $\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ musst du andere Überlegungen machen!

19.06.2007, 18:38

Berlinerin 89

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muss ich dann für a>0 zB eins einsetzen und für a<0 -1?

19.06.2007, 18:46

vektorraum

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Das kannst du für dich selber machen, um das ganze dann "fassbar" zu machen. Aber damit wir hier nicht lange rumrätseln müssen gilt doch

$\begin{eqnarray*} f_a ''(0)=2a=\left\{\begin{array}{cl}\textrm{Tiefpunkt} & \textrm{falls } a>0 \\ \textrm{Sattelpunkt} &\textrm{falls } a=0 \\ \textrm{Hochpunkt} &\textrm{falls } a<0 \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

OK???

19.06.2007, 18:50

Berlinerin 89

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ahhhh und beim hochpunkt ist das genauso....okay und beim wendepunkt? ich mein, da ist doch fa'''(a/2) = -12 und ungleich 0....da kann man nix mehr machen oder?

19.06.2007, 18:59

vektorraum

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RE: Kurvenschar

Zitat:

=>x2=a/3 >0
y2=-2(a/3)³+a(a/3)² =-2 (a³/27)+a(a²/9) =.... -4a + 2a = 2a < 0
=> Hochpunkt (a/3 | a/3)

Wendepunkt:
x=a/2 und y=0
somit fa'''(a/2) = -12 ungleich 0
=> Wendepunkt (a/2 | 0)

Hier kommt der gleiche Spaß nochmal! Warum schreibst du

$\begin{eqnarray*} x_2=\cfrac{a}{3}>0 \end{eqnarray*}$

Ist falsch, denn du kannst ja wieder negative a einsetzen. Also auch Fallunterscheidung, in dem du

$\begin{eqnarray*} f''\left(\cfrac{a}{3}\right)=-4a+2a=-2a \end{eqnarray*}$

für unterschiedliche a betrachtest. Mache das ähnlich wie eben!

Der Wendepunkt stimmt im übrigen nicht!

19.06.2007, 19:03

Berlinerin 89

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-12x=-2a | unglücklich

unglücklich

-12)
x=1/6 a

richtig? okay, dann muss ich das da auch nochmal machen =/ aber dank dir!
Kannst du mir vllt noch mit dem Verhalten im Unendlichen helfen?

19.06.2007, 19:12

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Zitat:

Original von Berlinerin 89
-12x=-2a | unglücklich

unglücklich

-12)
x=1/6 a

richtig? okay, dann muss ich das da auch nochmal machen =/ aber dank dir!
Kannst du mir vllt noch mit dem Verhalten im Unendlichen helfen?

Das ist korrekt Freude

Freude

Ja, mache das nochmal richtig alles! Wenn du willst, poste deine Ergebnisse!

Na los, fang an. Mach einen Vorschlag, bzw. wie habt ihr das Verhalten im Unendlichen bisher gemacht?

19.06.2007, 19:21

Berlinerin 89

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mit dem grenzwert^^ das x gegen (positiv oder negativ) unendlich geht

19.06.2007, 19:27

vektorraum

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Deine Ansätze??? Was machst du bei:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow \pm \infty}~(-2x^3+ax^2)=\ldots \end{eqnarray*}$

19.06.2007, 19:46

Berlinerin 89

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vllt
x³ (-2+a/x)
und a geht ja gegen unendl...

19.06.2007, 19:49

vektorraum

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Wer hat denn gesagt, dass a gegen unendlich geht??? Den Wet wählst du dir doch dann bei einer ganz bestimmten Funktion. Aber unabhängig von a kannst du etwa über das Verhalten der Funktion (die ja in x bestimmt ist) aussagen. Schau dir mal bitte meinen letzten post genau an! das ausklammern ist schon mal richtig!!!

19.06.2007, 19:53

Berlinerin 89

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stimmt, sry x geht ja gegen unendl Hammer

Hammer

vllt 0= -2 + a/x
2=a/x | mal x
2x = a???

19.06.2007, 19:59

vektorraum

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Wieso setzt du das ganze denn jetzt Null? Du sollst doch keine Nullstelle oder so etwas bestimmen verwirrt

verwirrt

Was passiert für $\begin{eqnarray*} x^3\rightarrow\infty \end{eqnarray*}$ ???

Und für $\begin{eqnarray*} (-2+\cfrac{a}{x})\rightarrow\infty \end{eqnarray*}$ ???

Und dann bei

$\begin{eqnarray*} x^3\rightarrow-\infty \end{eqnarray*}$ ???

Und für $\begin{eqnarray*} (-2+\cfrac{a}{x})\rightarrow-\infty \end{eqnarray*}$

19.06.2007, 20:05

Berlinerin 89

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bei x³ -> unendl
gibt es keinen Grenzwert?!? (wegen dem Exponenten)
und für $\begin{eqnarray*} -2+ax² \end{eqnarray*}$ geht das ganze vllt gegen minus unendl?

Hilfe

Hilfe

19.06.2007, 20:13

vektorraum

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Also: Wir machen folgendes. Ich zeige es dir am Beispiel $\begin{eqnarray*} x\rightarrow +\infty \end{eqnarray*}$

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow\infty}~x^3(-2+\cfrac{a}{x})=\lim_{x\rightarrow +\infty}~x^3\cdot \left(\lim_{x\rightarrow +\infty}~(-2)+\lim_{x\rightarrow +\infty}~\cfrac{a}{x}\right) \end{eqnarray*}$

Der letzte Ausdruck $\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow\infty}~\cfrac{a}{x} \end{eqnarray*}$ geht für alle a gegen Null - kannst du also vernachlässigen. Dann geht

$\begin{eqnarray*} x^3\rightarrow +\infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\rightarrow +\infty \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ . Also kommt raus:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow +\infty}~(-2x^3+ax^2)=-\infty \end{eqnarray*}$ .

Jetzt du.

19.06.2007, 20:29

Berlinerin 89

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$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to - \infty} x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x³ (-2+a/x) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} x x³ (\lim_{x \to -\infty} x (-2) \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} x a/x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (-2x³+ax²) = \infty \end{eqnarray*}$

sry hat so lange gedauert, weil ich mich mit den vorzeichen vertan habe xD

19.06.2007, 20:33

vektorraum

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Abgesehen davon, dass da ein paar x zu viel drinnen sind, stimmts. Anscheinend nur ein Tippfehler! Ergebnis ist richtig!

Alle Klarheiten beseitigt?

19.06.2007, 20:36

Berlinerin 89

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jaaaaaa, keine unklarheiten mehr vorhanden....außer... wie skizziert man nochmal so einen grafen? ZB von f 2,5? man hat doch 3 variablen, die man nicht kennt

19.06.2007, 20:38

Berlinerin 89

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ich muss dir jetzt schon einmal danken, dass du mir so wahnsinnig geholfen hast!!!!
Freude

Freude

vielen dank!!!!

19.06.2007, 20:52

Berlinerin 89

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kannst du mir da noch helfen? *lieb guck*

19.06.2007, 20:53

vektorraum

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Zitat:

Original von Berlinerin 89
jaaaaaa, keine unklarheiten mehr vorhanden....außer... wie skizziert man nochmal so einen grafen? ZB von f 2,5? man hat doch 3 variablen, die man nicht kennt

Nein, du hast keine drei Variablen!

Pass auf: $\begin{eqnarray*} f_{2,5} \end{eqnarray*}$ heißt nichts anderes als das du einen expliziten Wert für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ einsetzt, in dem Fall also 2,5.

D.h. $\begin{eqnarray*} f_{2,5}(x)=y=-2x^3+2,5x^2 \end{eqnarray*}$

Nun setzt du mal ein paar Werte für x ein und rechnest die funktionswerte y aus. Dann hast du Punkte und zeichnest die in ein wunderschönes Koordinatensystem, z.B. so

19.06.2007, 20:56

Berlinerin 89

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okayyyyyy danke =) jetzt hab ich alles!! smile

smile

19.06.2007, 21:01

Airblader

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Vllt. wurde es gesagt, aber die Funktion kann sehr wohl eine Symmetrie aufweisen.
Bedenke den Parameter a Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

19.06.2007, 21:15

vektorraum

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Zitat:

Original von Airblader
Vllt. wurde es gesagt, aber die Funktion kann sehr wohl eine Symmetrie aufweisen.
Bedenke den Parameter a Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

Danke für den Hinweis - das habe ich am Anfang glattweg vergessen zu sagen.

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