Trigonometrische Gleichung lösen

19.06.2007, 19:41

Toxman

Trigonometrische Gleichung lösen

Hallo MitMathematiker

Ich programmiere gerade eine Ellipsenkollision und bin jetzt auf eine Gleichung der Art
$\begin{eqnarray*} a*sin+b*sin^2+c*cos+d*cos^2+e*sin*cos=0 \end{eqnarray*}$ (wobei alle sin/cos von der gleichen Variablen abhängen)
Jetzt suche ich den Winkel, den ich hier einsetzen muss. Nur seh ich keinen guten Ansatz.
Meine beste Idee bis jetzt besteht darin, sin(phi) durch x zu substituieren, aber dann komme ich auf eine Gleichung in der x linear, quadratisch, aber auch in Wurzeln vorkommt. Und dann sehe ich nichts mehr.
Ich erwarte eigentlich eine eindeutige und immer existente Lösung. Näherungen daf ich keine machen, jeder Winkel ist möglich. Bei dieser Berechnung darf ich auch keinen Newton oder so was einsetzen, da ich mit der hier erhaltenen Gleichung für den Winkel noch weiterrechnen will.

Bei der Kollision habe ich eine feste Ellipse, deren Achsen parallel zu den Koordinatenachsen stehen und eine, die gedreht ist und sich entlang einer Halbgeraden durch die Ebene bewegt. Jetzt will ich wissen, wo sie sich treffen.

Mein Plan besteht darin, die Ellipsen in Parameterdarstellung zu setzen, wobei eine Gleichung zusätzlich noch von einem Zeitparameter abhängt. Dabei treten zwei Winkel auf. Die wollte ich derart in Beziehung setzen, dass, wenn ein Winkel fest gewählt wird, der zweite Winkel so gewählt wird, dass der Abstand zwischen den Punkten, die durch die Winkel beschrieben wird, minimal ist.
(diese Winkelabhängigkeit versuche ich oben zu berechnen)
Damit habe ich drei unabhängige Gleichungen, die alle bei der Kollision gelten muss und drei Variablen, womit das Problem gelöst sein dürfte. (Mit sehr langer Rechnung dazwischen).

Sieht jemand ein Problem bei diesem Ansatz? Oder kennt einen besseren?

Danke auf jeden Fall schon mal, dass du den Text bis hier hin schon mal gelesen hast.
Die Kollision wird in einem Programm genutzt, dass ich in der Uni entwickeln werde, wer hier eine Lösung findet, wird auch im Abspann als externer Berater geführt smile

Nikolas

20.06.2007, 01:06

mYthos

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Für alle Winkel $\begin{eqnarray*} x \neq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ kann die Gleichung durch $\begin{eqnarray*} \cos x \end{eqnarray*}$ [EDIT: $\begin{eqnarray*} \cos^2 x \end{eqnarray*}$ ] dividiert und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\cos x} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \sqrt{1 + \tan^2 x} \end{eqnarray*}$ ersetzt werden. Die dann entstehende Gleichung, in welcher nur noch die Tangensfunktion erscheint, ist - nach dem Quadrieren - vom Grad 4. Es gibt ein (wenn auch kompliziertes) Verfahren (nach Ferrari), eine Gleichung 4. Grades algebraisch aufzulösen, was man hier nachlesen kann.

mY+

20.06.2007, 01:09

WebFritzi

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Und durch was werden die Sinusse ersetzt?

20.06.2007, 01:16

mYthos

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Dividiere mal durch $\begin{eqnarray*} \cos^2 x \end{eqnarray*}$ , dann siehst du es, dass diese wegen $\begin{eqnarray*} \frac{\sin x}{\cos x} = .. \end{eqnarray*}$ zu "tangenten" werden ... Big Laugh

mY+

20.06.2007, 01:18

WebFritzi

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Aha. Also müsste man in deinem ersten Beitrag cos durch cos² ersetzen. Augenzwinkern

20.06.2007, 01:54

mYthos

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Nein!

Nach der Division durch $\begin{eqnarray*} \cos^2 x \end{eqnarray*}$ werden alle $\begin{eqnarray*} \frac{\sin x}{\cos x} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \tan x \end{eqnarray*}$ ersetzt, danach die übrig gebliebenen cosini im Nenner nach

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\cos x} = \sqrt{1 + \tan^2 x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \ \frac{\sin x}{\cos^2 x} + b \ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{c}{\cos x} + d + e \ \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a \tan x}{\cos x} + b \tan^2 x + \frac{c}{\cos x} + d + e \ \tan x = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a \tan x + c) \sqrt{1 + \tan^2 x} = -b \tan^2 x - e \tan x - d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Jetzt klarer?

mY+

20.06.2007, 09:54

Toxman

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Danke für die Arbeit. Mit dem Algo von Ferrari habe ich mich schon auseinandergesetzt, da er auch in anderen Verfahren (für stehende Ellipsen) eingesetzt werden muss. Allerdings kommen da viele Fallunterscheidungen und längliche Terme vor, so dass das weiterrechnen sehr umfangreich ist. So schlimm sieht das Problem eigentlich nicht aus, bei Kreisen ist das Problem schnell gelöst, aber hier wird das auf ein Mal richtig fies...

Der Ansatz für stehende Ellipsen, wird z.B. im Anhang (80kb) erklärt. Dort liegt mein Problem aber direkt auf der ersten Seite, da ich die Matrixdarstellung der Ellipse nicht verstehe. Wenn ich die Matrizen ausführe, komme ich auf $\begin{eqnarray*} Q(x,y)=(a+b)x^2+(b+c)y^2+dx+ey+f=0 \end{eqnarray*}$ (Variablen umbenannt um Indizes zu sparen)
Diese Konstanten müsste ich eigentlich mit denen aus der Ellipsengleichung $\begin{eqnarray*} x^2/a^2+y^2/b^2=1 \end{eqnarray*}$ identifizieren können. (oder wahrscheinlich eher mit der Gleichung für eine gedrehte Ellipse, wobei ich die in dieser Darstellung nicht kenne)
Aber auch damit dürfte die Rechnung sehr groß werden, da ich mit der Parametrisierten Form alles nachrechnen müsste und mit 15 Hilfsvariablen dürfte das ein paar Wochen dauern unglücklich

Habt ihr noch eine Idee?

20.06.2007, 12:31

WebFritzi

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Zitat:

Original von mYthos
Nein!

Nach der Division durch $\begin{eqnarray*} \cos^2 x \end{eqnarray*}$

Doch! Man, mYthos... Augenzwinkern

Du hattest in deinem ersten Beitrag geschrieben, dass man durch cos und nicht durch cos^2 teilen soll. Du hast einfach ein Quadrat vergessen. Ich wollte dich einfach nur darauf aufmerksam machen. Wink

20.06.2007, 13:11

mYthos

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Ich hab' dich leider missverstanden, sorry. Es war nur ein einfacher Tippfehler meinerseits und ich vermeinte, du hast mein Vorgehen missverstanden. Jetzt ist es klar, OK!

mY+

20.06.2007, 13:27

WebFritzi

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