Funktionen bestimmen |
20.06.2007, 00:44 | karla | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Funktionen bestimmen ich habe eine Aufgabe (allgemein zum Thema Dgl'en), die lautet: Bestimmen Sie alle -Funktionen , welche die Funktionalgleichung erfüllen. Als Hinweis ist gegeben, dass man bestimmen soll und zeigen soll. Hmm - mir ist überhaupt nicht klar wo ich jetzt anfangen soll. Wie soll man denn f(0) bestimmen? |
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20.06.2007, 01:06 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Setze mal y = 0 in die Gleichung ein. Was muss dann für alle x gelten? |
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20.06.2007, 10:44 | karla | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm, für y=0 lautet die Gleichung dann 2f(x) = f(x) f(0) Wüßte ich jetzt, dass f(x) ungleich 0, dann wäre f(0)=2 und ich könnte nun x=0 setzen: f(y) + f(-y) = 2f(y) f(-y) = f(y) nur kann f ja durchaus 0 werden... Und wenn man die Ausgangsgleichung außerdem jeweils zweimal nach x bzw. y ableitet hat man auch . Sorry, aber ich sehe immer noch nicht wie mir der geg. Hinweis nun helfen soll die Funktionen zu finden |
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20.06.2007, 10:51 | Divergenz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, sicher ist eine Lösung deiner Funktionalgleichung! Wenn du nun weitere finden willst dividiere deine Folgerung für y=0 durch f(x). |
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20.06.2007, 11:28 | karla | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, ich verstehe nicht ganz was du meinst. Also f identisch 0 ist eine Lösung, klar. Aber ein davon verschiedenes f kann doch trotzdem Nullstellen haben. Die müsste ich ja ausschließen beim Teilen. |
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20.06.2007, 12:33 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mach dir klar, dass das für alle x gilt, bring alles auf eine Seite und klammere f(x) aus. |
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20.06.2007, 18:20 | karla | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah, ok. Dann ist also entweder f identisch 0 oder f(0)=2. Dann habe ich also insgesamt: (i) (für alle y) (ii) und (iii) Ich stelle mich wahrscheinlich ein bischen dumm an, aber in welche Richtung muss ich denn überlegen? Jetzt bin ich ja gerade mal zum Lösungshinweis durchgestiegen Wenn ich etwa x = -y in (ii) einsetze erhalte ich nur (iv) (für alle y) Was könnte ich noch betrachten und wo ist der Bezug zu Dgl'en? |
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20.06.2007, 21:53 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie hast du denn (ii) bewiesen? |
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20.06.2007, 23:28 | karla | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei (ii) habe ich die Ausgangsgleichung jeweils zweimal nach x und y differenziert (f ist ja aus C^2), dann stimmen die zwei Gleichungen in der "linken Seite" überein und man hat: f(x)f''(y) = f''(x+y) + f''(x-y) = f''(x)f(y) Nur - was kann ich jetzt daraus ablesen? |
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21.06.2007, 10:53 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bring mal alles, was mit x drinne ist, auf eine Seite. Das gilt dann für alle x und y. Was kannst du also daraus ablesen? |
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22.06.2007, 00:23 | karla | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich weiß es nicht Du meinst, ALLES mit x auf eine Seite, nicht nur (ii)? Also so: f''(x)f(y) - f(x)f''(y) - f(x) + f(-x) - f''(x) + f''(-x) = 0 Wenn ich f''(x) und f(x) ausklammere und die Koeffizienten vergleiche erhalte ich die uninteressante Lösung f identisch 0... Ich habe natürlich herumprobiert und vermute, alle achsensymmetrischen, periodischen Funktionen mit y(0)=2 sind die gesuchten Lösungen. Aber ich weiß nicht, wie ich Periodizität anhand meiner Daten nachweisen soll... |
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22.06.2007, 02:18 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo karla, aus dem Hinweis erhält man eine Differentialgleichung, die schon mal einige Lösungen liefert Gruß, therisen |
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22.06.2007, 10:58 | karla | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achje, ich verstehe nur noch Bahnhof. Du hast vermutlich f''(x)f(y) = f(x)f''(y) für etwa y=0 betrachtet: f''(x) = 1/2 f''(0) f(x) Eine andere Lösung für das AWP f(0)=2 wäre z.B. 2cos(x). Aber auch 2*Exp(x), was die Funktionalgleichung nicht erfüllt. Was hilft mir das für die Gesamtheit der Lösungen? |
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22.06.2007, 11:50 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast dort eine lineare DGL der Form f''(x) = cf(x). |
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22.06.2007, 15:35 | karla | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das habe ich schon verstanden. Also sind jetzt alle Lösungen der Dgl, welche auch die restlichen Bedingungen erfüllen die (Gesamtheit der) Lösungen der Funktionalgleichung? Also suche ich ein Fundamentalsystem und löse das AWP y(0)=2 und bin fertig? |
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22.06.2007, 15:38 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist die entscheidende Frage. Ich denke, das muss man noch etwas genauer untersuchen. |
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