Vektorraum-Axiome

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20.06.2007, 12:33

DaDau

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Vektorraum-Axiome

Hallo,

ich hab hier ne Aufgabe bei der ich irgendwie auffem Schlauch steh. traurig

Aufgabe lautet folgendermaßen:

Zitat:

Überprüfen sie die Gültigkeit der VR-Axiome für die Menge V = R³ mit den Operationen ( $\begin{eqnarray*} (x,y,z) + (x',y',z') = (x+x', y+y', z+z') \end{eqnarray*}$ ;
$\begin{eqnarray*} µ(x,y,z) = (µx,y,z) \end{eqnarray*}$

Mein erstes Problem ist schon: Wozu dienen diese angegebenen Gleichungen? Denn ich bin der meinung bei der Skalarmultiplikation muss jedes Element des Vektors mit dem Skalar multipliziert werden und nicht wie in der Aufgabe vorgegeben nur das erste!?!

So, dann dachte ich mir wenn der die Gültigkeit der Axiome bewiesen haben will dann rechne ich die einfach nach:

$\begin{eqnarray*} (x1, x2, x3) + (y1, y2, y3) = (x1+y1, x2+y2, x3+y3) \end{eqnarray*}$
bzw für das 2. Axiom
$\begin{eqnarray*} µ(x1,x2,x3) = (µx1, µx2, µx3) \end{eqnarray*}$

Dazu hab ich jetzt folgende Fragen:
1. Frage: Wieso kann ich jetzt sagen ob Axiom 1 erfüllt ist oder nicht bzw was sagt mir dass die rechte Seite wieder in V liegt?
2. Frage: Die Multiplikation mit dem Skalar entspricht ja nicht der Vorgabe der Aufgabenstellung! Kann ich daraus schliessen dass die rechte Seite nicht in V liegt?

Stehe wie gesagt voll auf dem Schlauch. Hab lange in google und hier im Forum gesucht - ich treffe zwar immer wieder auf die Axiome und das man sie nur nachrechnen muss - nur fehlt mir der Schritt von der Nachrechnung auf die Eigenschaft zu schliessen obs in V liegt oder nicht. Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

thx
DaDau

20.06.2007, 12:51

therisen

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RE: Vektorraum-Axiome

Zitat:

Original von DaDau
Aufgabe lautet folgendermaßen:

Zitat:

Ist das so etwas wie die fünfte Wurzel aus einem Vektor? Sieht jedenfalls sehr seltsam aus Big Laugh

Du meinst

$\begin{eqnarray*} (x,y,z) + (x',y',z') := (x+x', y+y', z+z') \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mu(x,y,z) := (\mu x,y,z) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ähm, du kannst nicht einfach die Definition der Aufgabenstellung verändern LOL Hammer

In V liegt jedes reelle Tripel $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ . Darüber brauchst du dir also keine Gedanken zu machen - Abgeschlossenheit liegt trivialerweise vor.

Gruß, therisen

20.06.2007, 12:52

klarsoweit

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RE: Vektorraum-Axiome

Zitat:

Original von DaDau
Mein erstes Problem ist schon: Wozu dienen diese angegebenen Gleichungen? Denn ich bin der meinung bei der Skalarmultiplikation muss jedes Element des Vektors mit dem Skalar multipliziert werden und nicht wie in der Aufgabe vorgegeben nur das erste!?!

Du hast hier einen Raum V, für den Addition und Skalarmultiplikation eben in dieser Weise so vorgegeben sind. Nun mußt du prüfen, ob dieser Raum ein Vektorraum ist. Dazu solltest du erstmal wissen, wie ein Vektorraum überhaupt definiert ist.

Siehe dazu auch:
http://www.inf.fh-flensburg.de/lang/algo...en/vektorrm.htm

EDIT: und weil das eher nicht in die Schule paßt, schiebe ich das mal zur Hochschule.

20.06.2007, 13:17

DaDau

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Sry, für mich ist die Erklärung im Link Fachchinesisch und Chinese bin ich nun mal nicht.

Ich frag mich nur grad warum bekommt man in der Vorlesung gesgt Skalarmultiplikation funktioniert so und so und in der Aufgabenstellung wird dann wieder was ganz andres gesagt.

Vor allem wenn das jetzt so definiert ist dass $\begin{eqnarray*} µ(x1,x2,x3) = (µx1,x2,x3) \end{eqnarray*}$ , wie soll ich dann das Axiom nachweisen, dass $\begin{eqnarray*} µ(x1,x2,x3) \end{eqnarray*}$ Element von V ist?

Oder muss ich das Axiom dann gar nicht mehr nachweisen weil es in der Aufgabenstellung ja so schon als gegeben vorausgesetzt wird?

20.06.2007, 13:31

WebFritzi

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Was soll denn diese 5 da oben?! Steht das genauso in der Aufgabe?

OK, ich habe mal nachgeschaut. Du schreibst in latex µ(x1,x2,x3). Du musst stattdessen \mu schreiben.

Für die Vektorraumaxiome musst du z.B. beweisen, dass

tu + tv = t(u+v)

gilt für Zahlen t und Vektoren u,v aus V. Gilt das hier?

20.06.2007, 13:33

klarsoweit

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Das kann man so oder so sehen. Prinzipiell kann es aber nicht schaden, wenn man zeigt, daß $\begin{eqnarray*} µ(x1,x2,x3) \end{eqnarray*}$ ein Element von V ist. Da hier V der R³ ist, liegt das eh auf der Hand.

Was in dem Link ist denn Fachchinesisch? Ich meine irgendwie hast du irgendwas mit Mathe zu tun und ein bißchen Fachchinesisch gehört nun mal dazu. Augenzwinkern

20.06.2007, 14:07

DaDau

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Zitat:

Original von WebFritzi
Was soll denn diese 5 da oben?! Steht das genauso in der Aufgabe?

OK, ich habe mal nachgeschaut. Du schreibst in latex µ(x1,x2,x3). Du musst stattdessen \mu schreiben.

Für die Vektorraumaxiome musst du z.B. beweisen, dass

tu + tv = t(u+v)

gilt für Zahlen t und Vektoren u,v aus V. Gilt das hier?

Und ich hab mich beim ersten Post von "therisen" schon gewundert was der mit 5. Wurzel meinte. Also bei mir wird keine 5 angezeigt - bei mir steht überall µ(Mü)

Zu tu + tv = t(u+v):

Das gilt imho, denn wenn ich zuerst mit den Skalaren multiplizier und dann die Vektoren addiere dann befinde ich mich im reelen Zahlenraum und dort kann ich dann wieder das Distributivgesetzt anwenden.

@klarsoweit:

Stimmt, ich hab ein bisschen was mit Mathe zu tun - aber nicht mehr lange da in 3 Wochen die Klausuren in Mathe anstehen und es dabei der 3. und somit letzte Versuch ist. Positiv gesehen ist mir Mathe ab diesem Zeitpunkt sowieso egal da die Quälerei dann endlich ein Ende hat.

Zum Fachchinesisch speziell: Im ersten Satz steht gleich mal was von Körper (Was ist ein Körper?), dann klick ich auf Körper dann steht da was von Ring(Was ist ein Ring?), dann klick ich auf Ring dann steht da was von Monoid(Was ist Monoid?). Ich hab leider riesen Probleme mir Dinge vorzustellen die nicht existent sind und nur von irgendeinem mathematischen Superhirn irgendwann mal definiert worden sind.

Bei Vektoren denk ich mir immer nen Pfeil im Koordinatensystem, dann klappt das, aber nen Vektorraum lässt sich irgendwie nicht gut zeichnen.

20.06.2007, 14:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von DaDau
Zu tu + tv = t(u+v):

Das gilt imho, denn wenn ich zuerst mit den Skalaren multiplizier und dann die Vektoren addiere dann befinde ich mich im reelen Zahlenraum und dort kann ich dann wieder das Distributivgesetzt anwenden.

Bei dieser Aufgabe ist tu + tv = t(u+v) tatsächlich erfüllt. Aber mit dieser Begründung ist das mit einem Blick nicht zu erkennen.

Für einen Vektorraum müssen ja auch noch weitere Regeln erfüllt werden, z.B.:
(s+t)*u = s*u + t*u

Zitat:

Original von DaDau
Zum Fachchinesisch speziell: Im ersten Satz steht gleich mal was von Körper (Was ist ein Körper?)

Auch das ist ein Begriff, der irgendwo in deinem Script oder deinem Mathebuch (falls vorhanden) vorkommen sollte. Ein Körper ist eine Menge, auf der Operationen wie Addition und Multiplikation definiert sind und die weitere bestimmte Eigenschaften erfüllt, z.B.:
- Existenz von neutralen Elementen
- Kommutativgesetz
- Assoziativgesetz
- Distributivgesetz

Bestes Beispiel sind die reellen Zahlen.

20.06.2007, 16:38

DaDau

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Klar, die Fragen in Klammern sollten nicht für euch sein sondern sollten Verdeutlichen dass sich schon bei der Definition vom Vektorraum für mich neue Fragen auftun und sich das immer weiter zieht.

Ich habe jetzt einfach mal versucht alle Axiome für o.a. Aufgabe nachzurechnen - nur wenn ich das jetzt hier alles reintippen müsst dann wäre der Abgabetermin schon vorbei. Also hoffe ich mal dass es Gnadenpunkte für das bearbeiten gibt! Augenzwinkern

Zur Aufgabe tu + tv = t(u+v):

Dass war mir auch nicht auf den ersten Blick ersichtlich dass diese Aussage gültig ist. hab einfach nachgerechnet: $\begin{eqnarray*} t(u1,u2,u3) = (tu1, tu2, tu3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t(v1,v2,v3) = (tv1, tv2, tv3) \end{eqnarray*}$
Das kann man zusammenfassen zu: $\begin{eqnarray*} (tu1+tv1, tu2+tv2, tu3+tv3) = (t(u1+v1), t(u2+v2), t(u3+v3)) \end{eqnarray*}$
Und das ist dann gleich $\begin{eqnarray*} t(u+v) \end{eqnarray*}$ und das war ja zu zeigen.
Folglich gilt diese Aussage! Korrekt?

20.06.2007, 18:12

DaDau

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Eine Frage hätte ich dann noch:

In einer anderen Aufgabe heisst es man soll die Axiome für die Menge der 2x2-Matrizen der Form
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 & 1 \\ 1 & b_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
überprüfen.

Wenn ich jetzt die Addition mit dem Nullvektor prüfen soll - kann ich diese Überprüfung überhaupt durchführen? Denn beim Nullvektor wäre ja jedes Element 0 und das wiederspricht sich ja mit der Definition.
Oder lautet der Nullvektor dann einfach $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

20.06.2007, 20:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von DaDau
hab einfach nachgerechnet: $\begin{eqnarray*} t(u1,u2,u3) = (tu1, tu2, tu3) \end{eqnarray*}$

Laut Definition der "Multiplikation mit einem Skalar" in der Aufgabe ist:
$\begin{eqnarray*} t(u1,u2,u3) = (tu1, u2, u3) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von DaDau
Denn beim Nullvektor wäre ja jedes Element 0 und das wiederspricht sich ja mit der Definition.

Wieso?

Zitat:

Original von DaDau
Oder lautet der Nullvektor dann einfach $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nein. Viel einfacher. Augenzwinkern

20.06.2007, 21:01

DaDau

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Zitat:

Original von DaDau
Oder lautet der Nullvektor dann einfach $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Nein. Viel einfacher. Augenzwinkern

Wie einfacher?

Normalerweise besteht der Nullvektor ja nur aus Nullen, was bedeuten würde:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In der Aufgabenstellung ist aber als Grundmenge gegeben:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Dann würde doch der Nullvektor dort gar nicht existieren, denn die Einser sind ja fix?!?

20.06.2007, 22:01

therisen

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Als Untervektorraum ist das neutrale Element bezüglich der Addition (Untergruppe) das gleiche. Dieses liegt aber nicht in deiner Menge.

21.06.2007, 08:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von klarsoweit
Für einen Vektorraum müssen ja auch noch weitere Regeln erfüllt werden, z.B.:
(s+t)*u = s*u + t*u

Für mein Verständnis ist die 1. Aufgabe noch nicht erledigt. So wäre noch obiges zu zeigen oder zu widerlegen.

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