Wurzel 2 + Wurzel 3 irrational?

20.06.2007, 15:37

Pepperchen1983

Wurzel 2 + Wurzel 3 irrational?

Folgende Aufgabe aus einer Klausur:

Zeigen Sie das $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} + \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ irrational ist.

Hat einer nen Ansatz?

LG
Pepperchen

20.06.2007, 15:47

therisen

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Hallo,

angenommen $\begin{eqnarray*} \sqrt2+\sqrt3=\frac pq \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} p\in\mathbb Z,\ q\in\mathbb N, \ \mathrm{ggT}(p,q)=1 \end{eqnarray*}$ . Quadrieren liefert

$\begin{eqnarray*} 5+2\sqrt6=\frac{p^2}{q^2} \end{eqnarray*}$

Und über diese Gleichung solltest du kurz nachdenken.

Gruß, therisen

21.06.2007, 07:39

Leopold

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Oder so: Ich gehe einmal davon aus, daß die Irrationalität von $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ bereits bewiesen ist.

Wäre $\begin{eqnarray*} a = \sqrt{2} + \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ rational, so auch der Kehrwert $\begin{eqnarray*} b = \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} =\sqrt{3} - \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ . Und jetzt betrachte $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \left( a + b \right) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \left( a - b \right) \end{eqnarray*}$ .

21.06.2007, 11:36

Pepperchen1983

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@ therisen:

Ich hab die Gleichung weiter umgeformt:
$\begin{eqnarray*} 5q^{2}+ 2\sqrt{6}\cdot q^{2} = p^{2} \end{eqnarray*}$

Und ich glaub ich seh den Wald vor lauter Bäumen nicht...
Jedenfalls stört mich der Wurzelausdruck...

Oder kann man sagen, dass eine Summe aus einer rationalen Zahl und einer irrationalen Zahl keine rationale Zahl sein kann?

@ leopold:
Das ist ja was ganz anderes....

21.06.2007, 11:55

therisen

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Hallo,

du hast doch

$\begin{eqnarray*} \sqrt6=\frac{\frac{p^2}{q^2}-5}2\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ dastehen.

Zitat:

@ leopold:
Das ist ja was ganz anderes....

Nein, ist es nicht. Ich finde Leopolds Ansatz sogar sehr elegant.

Gruß, therisen

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