Stetigkeit

Neue Frage »

20.06.2007, 15:46

Zupperbüählier

Auf diesen Beitrag antworten »

Stetigkeit

Könnte mir jemand sagen, wie ich ganz kurz beweisen kann, dass x^2 stetig ist.

Biahler

20.06.2007, 15:52

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Verschoben

Welche Kriterien kennst du denn für Stetigkeit? Allgemein gilt: Das Produkt stetiger Funktionen ist stetig, hier konkret $\begin{eqnarray*} f(x)=x,\ g(x)=x \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

20.06.2007, 15:52

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Das kommt darauf an, was ihr in der Vorlesung schon bewiesen habt. Oft beweist man (in mehreren allgemeinere Schritten), dass alle Polynomfunktionen stetig sind.

Wenn du es mit der Epsilon-Delta-Definition machen musst, hilft dir $\begin{eqnarray*} |x^2-x_0^2|=|x-x_0||x+x_0|=|x-x_0||x-x_0+2x_0| \end{eqnarray*}$ .

20.06.2007, 16:24

Zupperbüählier

Auf diesen Beitrag antworten »

Gefragt ist keine reine Kriterium-Anwendung, sondern dass für $\begin{eqnarray*} |h|\le1 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} |f(a+h)-f(a)|=|2ah+h^2|\le(|2a|+||h|)*|h|\le(|2a|+1)*|h| \end{eqnarray*}$

20.06.2007, 16:29

Orakel

Auf diesen Beitrag antworten »

1. mit deinem rechenweg steuerst du ein kriterium an

2. dein rechenweg ist der gleiche, wie der von sqrt(2), wenn du mal $\begin{eqnarray*} x-x_0=h \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=x_0 \end{eqnarray*}$ setzst!

20.06.2007, 16:29

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Das hat mit Stetigkeit nicht viel zu tun und ist trivial. Was ist jetzt deine Frage? verwirrt

20.06.2007, 16:59

Zupperbüählier

Auf diesen Beitrag antworten »

Ganau steht in der Aufgabe, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ in jedem Punkt $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stetig ist und ich das eben $\begin{eqnarray*} |h|\le1... \end{eqnarray*}$ benutzen sollte.

20.06.2007, 18:01

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ergibt keinen Sinn. Um Stetigkeit nachzuweisen, muss man |h| beliebig klein abschätzen dürfen, so klein, wie es eben nötig ist, um kleiner als ein vorgegebenes $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ zu werden. $\begin{eqnarray*} |h|\leq1 \end{eqnarray*}$ reicht da nicht.

Poste den genauen Wortlaut der Aufgabenstellung.

20.06.2007, 18:37

Zupperbüählier

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sollte wahrscheinlich schon die Epsilon-Delta-Anwendung benutzen, dass $\begin{eqnarray*} \forall\epsilon \in ]0,1]|x-0|<\delta(\epsilon) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(0)|</epsilon \end{eqnarray*}$ und[latex]/delta:]0,1][\latex]\to\mathbb{R},\epsilon \mapstodelta(\epsilon)

So die genauen Angaben der Aufgabe.

20.06.2007, 18:58

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Zupperbüählier
So die genauen Angaben der Aufgabe.

Nie und nimmer.

20.06.2007, 19:15

Zupperbüählier

Auf diesen Beitrag antworten »

Halt in anderer Reihenfolge, aber das spielt für den Lösungsweg ja keine Rolle:
Das sind genau alle wichtigen Daten (vor $\begin{eqnarray*} |x-0| \end{eqnarray*}$ sollte noch ein "aus" voran), die genannt wurden (ohne die schon erwähnten) und keine mehr.

Müsste dann eigentlich schon irgendwie gehen, eigentlich...

20.06.2007, 20:18

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du bitte jetzt einmal die Aufgabe komplett, im Wortlaut und in vernünftiger Form wiedergeben? Du hast bisher nur Widersprüchliches von dir gegeben.

20.06.2007, 20:53

Zupperbüählier

Auf diesen Beitrag antworten »

Obwohl ich die Lösungsweg nun schon kenne, schreib ich sie dir trotzdem, damit alles klar wird.

a) Zeigen Sie, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ stetig im Punkt 0 ist, indem Sie explizit eine Funktion $\begin{eqnarray*} \delta :]0,1] \rightarrow \mathbb{R}, \epsilon \mapsto \delta (\epsilon ) \end{eqnarray*}$ angeben, do dass $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon \in ]0,1] \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} |x-0|< \delta (\epsilon ) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(0)|< \epsilon \end{eqnarray*}$ .

b Zeigen Sie jetzt, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ in jedem Punkt $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stetig ist. Benutzen Sie, dass für $\begin{eqnarray*} |h| \le 1 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} |f(a+h)-f(a)|=|2ah+h^2 | \le (|2a|+|h|)*|h| \le (|2a|+1)*|h| \end{eqnarray*}$ .

So, hoffe damit alles geklärt zu haben (Mit Latex hoffentlich alles korrekt).

20.06.2007, 20:58

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ergibt tatsächlich Sinn, ja. Wenn du das nächste Mal fragst, solltest du nicht zwei Teilaufgaben durcheinander werfen.

20.06.2007, 21:25

Zupperbüählier

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es dir nicht zuviel Aufwand macht, kannst du mir ja trotzdem noch deinen Lösungsweg mitteilen; vielleicht ergibt sich ja noch etwas.

Schönen Tag wünscht,

Zupperbüählier

20.06.2007, 23:08

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Na gut, damit wenigstens noch etwas dabei rüberkommt, mache ich es ein kleines bisschen prosaischer als das, was man sonst in einem Analysislehrbuch bei dem Beispiel findet. Später in der Literatur nimmt man dann an, dass du automatisch das denkst, was ich jetzt schreibe.

Ich setze mein Posting von oben fort.

$\begin{eqnarray*} |x-x_0||x-x_0+2x_0|\leq|x-x_0|(|x-x_0|+|2x_0|)\leq\delta(\delta+2|x_0|) \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \delta\to0 \end{eqnarray*}$ geht auch der Ausdruck rechts gegen 0, wird mit entsprechender Wahl von $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ also kleiner als jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \fbox{} \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Stetigkeit

Verwandte Themen