Der Satz von Cavalieri

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Der Satz von Cavalieri
das ist doch der Satz von Cavalieri:
Körper mit gleichen Höhen und inhaltsgleichen Grundflächen sind volumengleich.
Alle Körper, die in gleichen Höhen flächengleiche Querschnitte haben, sind volumengleich. , oder?

Meine Frage: das sind ja sozusagen zwei aussagen. sind diese voneinader abhängig, also, muss ein körper gleiche höhe, gleich grundfläche UND in gleichen Höhen flächengleiche Querschnitte haben, oder sind die beiden sätze getrennt voneinader jeweils für volumengleichheit stehend?
versteht ihr meine frage?
bitte versucht sie zu beantworten, danke.
wilay
Dunkit Auf diesen Beitrag antworten »

So wie du den Satz formuliert hast ist er sicher nicht richtig. Denn wie du schon selber erkannt hast impliziert deine Formulierung, dass nur Grundfläche und Höhe gleich sein müssen, damit der Körper das gleiche volumen hat. Das ist aber offensichtlich falsch.

Richtig wäre z.b. diese Formulierung (von wikibooks)
Zitat:
Zwei Körper sind inhaltsgleich, wenn sie, mit gleich großen Grundflächen und gleicher
Höhe auf ein und dieselbe Ebene gestellt, von jeder Parallelebene in inhaltsgleiche Flächen geschnitten werden.
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Ganz sicher?? Gibt es noch mehr Meiinungen / Fakten?
Danke erstmal.
Also alle drei bedingungen müssen eintreten, erst dann sind körper volumensgleich, ja?!
geschockt
Dunkit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Die Körper müssen die gleiche Höhe haben und der Querschnitt muss auf jeder Höhe denselben Flächeninhalt haben. Das ist im Prinzip das, was wikibooks sagt nur etwas einfacher ausgedrückt.
Stell dir vor du hast die beiden Körper nebeneinander stehen. Dann "nimmst du eine Ebene" und bewegst sie parallel zum boden nach oben durch die körper hindurch. Die Schnittfläche der Körper mit der Ebene muss dann immer identisch sein.
.:*wilay*:. Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, viele lieben Dank!
Ich dachte erst, es würde reichen, wenn NUR Höhe und Grundfläche gleich seien, oder wenn NUR die schnittflächen gleich seien, aber das ist offenbar nicht so.
danke
wilay
Snowfan Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Definition nach "mathematik verständlich" von Robert Müller-Fonfara:

Prinzip von Cavalieri:
Zwei Körper haben gleiches Volumen, wenn alle ihre Querschnitte in gleichem Abstand zur Grundfläche flächengleich sind.

Zusatz, der darunter steht: Dabei ist es nicht notwendig, daß die Schnittflächen kongruent sind.

LG
SF
 
 
Dunkit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von .:*wilay*:.
Okay, viele lieben Dank!
Ich dachte erst, es würde reichen, wenn NUR Höhe und Grundfläche gleich seien, oder wenn NUR die schnittflächen gleich seien, aber das ist offenbar nicht so.
danke
wilay

Angenommen das sei so: Nimm zwei Cola-Dosen. Drück die eine in der Mitte zusammen. Die Grundflächen sind jetzt (theoretisch wenigstens) immernoch gleich groß, aber haben die beiden Dosen immernoch dasselbe Volumen?!
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

einmal kurz off topic:

@Streetfighter: Ich hab das Buch auch wie findest du das??
Ich finde es sehr gut weil fast alles bewiesen wird so das man es auch versteht. Ausser das Kapitel Der Differentialgleichungen, dass finde ich nicht so toll!

schreib doch auch mal deine Meinung, oder schick mir eine Pn.

Bis dann mathe760!! Wink
Snowfan Auf diesen Beitrag antworten »

Mathe760, ich find das Buch gut. Ich kanns zwar im Studium nicht so richtig gut einsetzen, aber um Grundlagen zu klären (vorallem in der Nachhilfe) muss ich sagen ists ne gute Sache. Und für nicht mal 10€ kann man da auch nicht meckern. Es ist alles anschaulich erklärt und die Bildchen machen auch was her Augenzwinkern
Vorallem ists zum großen Teil kurz und prägnant - wenig Rumlaberei Big Laugh
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Zitat:
Original von Dunkit
Zitat:
Original von .:*wilay*:.
Okay, viele lieben Dank!
Ich dachte erst, es würde reichen, wenn NUR Höhe und Grundfläche gleich seien, oder wenn NUR die schnittflächen gleich seien, aber das ist offenbar nicht so.
danke
wilay

Angenommen das sei so: Nimm zwei Cola-Dosen. Drück die eine in der Mitte zusammen. Die Grundflächen sind jetzt (theoretisch wenigstens) immernoch gleich groß, aber haben die beiden Dosen immernoch dasselbe Volumen?!

Danke! Das leuchtet ein. Das heißt also, das definitiv alle 3 Bedingungen erfüllt sein müssen, denn das Volumen der Cola-Dosen ist nicht mehr gleich, da die Schnittflächen unerschiedliche Volumina haben, wenn ich das richtig verstehe.
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