Anwendung vom Austauschsatz

20.06.2007, 18:35

MrMilk

Anwendung vom Austauschsatz

Hallo,

ich habe eine kleiner Frage zum Austauschsatz. Beim mir sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^4 \end{eqnarray*}$ Vektorraum und $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} U' \end{eqnarray*}$ Unterräume von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft, das gelten soll, dass $\begin{eqnarray*} V=U+U' \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} dim\left(U\right)+dim\left(U'\right)=dim\left(V\right) \end{eqnarray*}$ .

Hierbei ist U wie folgt definiert: $\begin{eqnarray*} U=\left\langle \left(\begin{array}{c}1\\2\\-4\\1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\1\\-1\end{array}\right)\right\rangle \end{eqnarray*}$

Nun soll ich $\begin{eqnarray*} U' \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Hierbei habe ich nun eine Frage zu Vorgehensweise.

Ich habe mir überlegt, die beiden Vektoren durch zwei Vektoren aus der Standardbasis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^4 \end{eqnarray*}$ zu ersetzen. Somit muss ich erste testen, bei welchen dieses passieren darf:

Zum resten Vektor aus U:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccccccccc}1\alpha & + & 0\beta & + & 0\gamma & + & 0\delta & = & 1\\0\alpha & + & 1\beta & + & 0\gamma & + & 0\delta & = & 2\\0\alpha & + & 0\beta & - & 1\gamma & + & 0\delta & = & -4\\0\alpha & + & 0\beta & + & 0\gamma & + & 1\delta & = & 1\end{array} \end{eqnarray*}$

Und zum zweiten aus U:
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccccccccc}1\alpha & + & 0\beta & + & 0\gamma & + & 0\delta & = & 0\\0\alpha & + & 1\beta & + & 0\gamma & + & 0\delta & = & 1\\0\alpha & + & 0\beta & - & 1\gamma & + & 0\delta & = & 1\\0\alpha & + & 0\beta & + & 0\gamma & + & 1\delta & = & 1\end{array} \end{eqnarray*}$

Hieraus kann ich folgern, dass ich die Vektoren $\begin{eqnarray*} e_1, e_2, e_3, e_4 \end{eqnarray*}$ für einen Austausch gegen den ersten Vektor aus U nutzen kann.

Den zweiten Vektor kann ich nur gegen $\begin{eqnarray*} e_2, e_3, e_4 \end{eqnarray*}$ austauschen.

Hier würde ich dann einfach U so austauschen, dass ich $\begin{eqnarray*} U = {e_1,e_2} \end{eqnarray*}$ erhalte.

Somit könnte ich folgern, dass für $\begin{eqnarray*} U'={e_3,e_4} \end{eqnarray*}$ nehmen kann womit beide Voraussetzungen erfüllt wären.

Wäre dieses so okay?

Viele Grüße
-- MrMilk

22.06.2007, 08:28

Mazze

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Was Du hier prinzipiell versuchst ist, die zwei Einheitsvektoren $\begin{eqnarray*} e_i,e_j \end{eqnarray*}$ zu finden so das

$\begin{eqnarray*} e_i,e_j \in U \end{eqnarray*}$

und es ist auch legitim U dann über diese beiden Vektoren auszudrücken. Ich würde es aber anders machen, ich würde direkt die Basis von U zu einer Basis von V ergänzen, die beiden zusätzlichen Basisvektoren müssen dann wegen

$\begin{eqnarray*} dim(U) + dim(U') = dim(V) \end{eqnarray*}$

in U' liegen.

22.06.2007, 12:05

WebFritzi

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Zitat:

Original von Mazze
Was Du hier prinzipiell versuchst ist, die zwei Einheitsvektoren $\begin{eqnarray*} e_i,e_j \end{eqnarray*}$ zu finden so das

$\begin{eqnarray*} e_i,e_j \in U \end{eqnarray*}$

und es ist auch legitim U dann über diese beiden Vektoren auszudrücken.

Wenn man solche Vekroen finden kann, ist das natürlich legitim. Aber man kann solche Einheitsvektoren im allgemeinen nicht finden. Versuche mal zwei Einheitsvektoren zu finden, die den gleichen Raum aufspannen wie (1,0,0) und (1,1,1).

23.06.2007, 11:27

MrMilk

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Alles klar,

Vielen Dank :-)

Viele Grüße
-- MrMIk

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