Grenzwert / Differenzenquotient

21.01.2005, 17:24	Schnikschnak	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert / Differenzenquotient hallo nochmal, irgendwie habe ich das ganze mit dem editieren und latex noch nicht so ganz draußen ich habe folgende Aufgabe und weiß nicht genau was der richtige lösungsweg ist. Die Funktion f:[a,b]-> R sei diffbar in c e (a,b) mit f'(c)!= 0. Untersuchen Sie ob folgende Grenzwerte existieren und berechnen Sie diese im Falle der Existenz. a) \lim_{h \to 0} f(c+2h)-f(c) / h b) \lim_{h \to 0} f(c+h²)-f(c) / h c) \lim_{h \to 0} f(c+h)-f(c) / h² habe ich dann bei a) f'(c) oder 2f'(c) weil \lim_{h \to 0} f'(c+2h)2-f(c) / 1 = f'(c) oder \lim_{h \to 0} f'(c+2h)2 / 1 =2f'(c) b) -f'(c) oder 0 als grenzwert? Danke gruss
21.01.2005, 17:29	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
würdest du bitte erst mal deinen beitrag editieren (auf "edit" klicken)? das ist so unerträglich zu lesen. bitte verwende nur an den stellen wo es nötig ist latex und verwende ansonsten den normalen modus. dann kannst du auch zeilenumbrüche machen (die "enter" macht latex zu diesen </br>, aber fängt keine neue zeile an) und du hast leerzeichen zwischen den wörtern! mfg jochen
21.01.2005, 18:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim Differenzenquotienten fehlen beim Dividenden jeweils die Klammern. Alternative: Bruchschreibweise mit Latex. Erweitere die Brüche jeweils so, daß sie von der Form $\begin{eqnarray} \frac{f(c+t)-f(c)}{t} \end{eqnarray}$ sind, und ziehe geeignete Faktoren heraus. b) als Beispiel: $\begin{eqnarray} \frac{f(c+h^2)-f(c)}{h} = \frac{f(c+h^2)-f(c)}{h^2} \cdot h \end{eqnarray}$ Hier ist im Bruch $\begin{eqnarray} t=h^2 \end{eqnarray}$ . Und mit $\begin{eqnarray} h \to 0 \end{eqnarray}$ geht auch $\begin{eqnarray} t \to 0 \end{eqnarray}$ .
22.01.2005, 23:16	Schnikschnak	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmm... wird dann aus a) $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{f(c+2h)-f(c)}{h} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{(f(c+2h)-f(c))2}{2h} \end{eqnarray}$ habe ich dann 2f'(c) ? b) $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{f(c+h^2)-f(c)}{h} \end{eqnarray}$ kann man eigentlich auch LH anwenden? $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \end{eqnarray}$ f'(c+h^2)2h = 0 c) macht mir noch ein wenig kopfzerbrechen $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{f(c+h)-f(c)}{h^2} \end{eqnarray}$ ist dies das gleiche wie $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{f(c+h)-f(c)}{h}\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \end{eqnarray}$ = f'(c) $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}=\infty \end{eqnarray}$ oder ist $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{f(c+h)-f(c)}{h^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{f'(c+h)}{2h} \end{eqnarray}$ nicht def. ?
23.01.2005, 07:45	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
LH = L'Hospital? Nein, den wendet man hier nicht an. Und zwar, weil es erstens mit Kanonen auf Spatzen geschossen wäre und weil er zweitens nur anwendbar ist, wenn die Differenzierbarkeit von f in einer ganzen Umgebung von c gegeben ist. Und? Ist das in der Aufgabe vorausgesetzt? a) stimmt b) den Grenzwert kannst du aus meiner Rechnung unmittelbar ablesen c) dein erster Ansatz stimmt (fast); du solltest nur eine Fallunterscheidung machen: h gegen 0 von links und h gegen 0 von rechts, weil 1/h bei h=0 einen Vorzeichenwechsel hat. Und du solltest darauf hinweisen und es auch verstehen, warum hier die Voraussetzung f'(c) ungleich 0 zum Tragen kommt. Und dann spielt das Vorzeichen von f'(c) natürlich auch noch eine Rolle.

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