Minimum Maximum auf beschränktem Intervall

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CocaCola Auf diesen Beitrag antworten »
Minimum Maximum auf beschränktem Intervall
Es sei definiert durch



Zeigen Sie, dass die Funktion f auf ihr Minimum und ihr Maximum annimmt. Bestimmen Sie Minimum und Maximum von f auf K und alle Punkte, wo diese angenommen werdeen.





zusuchen ist nun, wo die Nullstellen sind

deshalb habe ich beide ableitungen gleich 0 gesetzt und die 1 rübergeholt und dann beide ableitungen gleichgesezt

dann kam herraus





3te Binomische Formel angewendet und durch (y-x) geteilt [für y<>x] ergibt





für y<>0 und x<>0





was aber falsch ist! komme nicht weiter! wo liegt mein fehler?!?



was sind denn dabei die 0 Stellen und kann man das einfach so machen?
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Warum meinst du, einen Fehler gemacht zu haben? Du hast nur herausgefunden, dass es im Falle , , kein Extremum gibt.
CocaCola Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt, das habe ich! danke! LOL Hammer
CocaCola Auf diesen Beitrag antworten »

hmm okay

habe es mal so versucht. habe es in der hessematrix eingesetzt



für



also indefinit, da alle eigenwerte = 0

für x=y



ist das schonmal richtig, weil jetzt nen anstrengender rechenteil kommt?
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Du scheinst zu meinen, dass bei x = y ein Extrema vorliegen. Das ist nicht der Fall.
CocaCola Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sqrt(2)
Du scheinst zu meinen, dass bei x = y ein Extrema vorliegen. Das ist nicht der Fall.


ist denn (0,0) eine Extremstelle, so wie ich es berechnet habe?

Was wäre denn andere Extremstellen, kannst du mir da nen tipp geben?
 
 
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von CocaCola
ist denn (0,0) eine Extremstelle, so wie ich es berechnet habe?

Bei (0,0) ist f'=(-1,-1), setz mal oben ein. Eine Überprüfung mittels Definitheit der Hesse-Matrix bringt da gar nichts.

Zitat:
Original von CocaCola
Was wäre denn andere Extremstellen, kannst du mir da nen tipp geben?

Ich hab mal einen Plot angehängt.
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »

nix lag falsch
CocaCola Auf diesen Beitrag antworten »

okay jetzt bin ich überfordert...
wie berechne ich die denn?
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Also, was du oben noch nicht festgestellt hast, ist, was bei x = y ist. Das heißt nicht automatisch, dass da überall Extrema sind, aber es heißt auch nicht, dass da nicht keins ist.

Wenn du in f' mal x = y setzst, kommst du in beiden Komponenten auf das gleiche Polynom in einer Variablen (kein Wunder, f ist ja symmetrisch in x und y). Von diesem Polynom kannst du ganz normal die Nullstellen bestimmen. Mit der Definitheit der Hessematrix wirst du diese möglichen Extremstellen überprüfen können. (Aus dem Plot kannst du sehen, dass nur eine davon ein echtes Extremum sein wird.)

Außerdem siehst du am Plot noch fünf Extrema (drei, wenn man die Symmetrien weglässt), die du mit der Ableitung nicht finden wirst, du siehst ja auch, dass die Ableitung dort nicht 0 ist. Auf einer kompakten Menge nimmt jede Funktion ihr Minimum und ihr Maximum an, das kann aber auch am Rand liegen, während die Ableitung nur auf offenen Mengen einen Sinn ergibt, denn sie macht Aussagen über Umgebungen der Punkte. Randpunkte haben aber keine Umgebungen, die vollständig im betrachteten Bereich.

Du musst also hinterher noch an allen Randpunkten "manuell" nach Extrema suchen (du kannst dies wieder zu einem eindimensionalen Problem machen).
CocaCola Auf diesen Beitrag antworten »



kann man das so machen?

Nullstellen wären dann 1 und -0.5

also müsste man noch -1 auf ein extrempunkt prüfen!

aber wie wäre das dann mit der hessematrix?
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von CocaCola


kann man das so machen?

Ja.

Zitat:
Original von CocaCola
Nullstellen wären dann 1 und -0.5

Ja.

Zitat:
Original von CocaCola
also müsste man noch -1 auf ein extrempunkt prüfen!

Wie kommst du auf -1 (bzw. korrekterweise (-1, -1))? Du hast doch gerade (1, 1) und (-0.5, -0.5) als mögliche Extrempunkte identifiziert.

(-1, -1) wirst du auch noch überprüfen müssen, aber erst im Rahmen der Untersuchung des Randes.

Zitat:
Original von CocaCola
aber wie wäre das dann mit der hessematrix?

Die Hessematrix für f (im Falle x = y) hast du doch schon ausgerechnet (die du allerdings nochmal überprüfen solltest, da müsste z.B. irgendwo ein auftauchen; außerdem hast du etwa falsch als geschrieben). Da setzst du deine Punkte ein und prüfst auf Definitheit. Kennst du doch.
CocaCola Auf diesen Beitrag antworten »



da taucht leider kein 6x^2 auf verwirrt

aber es wäre dann

sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von CocaCola
da taucht leider kein 6x^2 auf verwirrt

Äh, ja, muss es auch nicht, kleiner Kurzschluss meinerseits, Entschuldigung.

Deine Hessematrix ist korrekt.
CocaCola Auf diesen Beitrag antworten »

okay das wäre dann







alle EW < 0 => lokales Maximum!


so jetzt das gleiche für -1 oder?
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von CocaCola

Hm, ja, unpraktisch, aber egal, den Rand überprüfen wir eh noch.

Zitat:
Original von CocaCola

Ja.

Zitat:
Original von CocaCola


alle EW < 0 => lokales Maximum!

Deine Diagonalisierung ist falsch. Wie du mit den Hauptminoren sofort siehst, ist die Matrix indefinit.

Zitat:
Original von CocaCola
so jetzt das gleiche für -1 oder?

Nein. Wo hast du die -1 bitteschön her?
CocaCola Auf diesen Beitrag antworten »

wir wollen doch den rand untersuchen oder? darum -1 und 1

mit haupminor meinst fu f''(x,x) oder

f''(x,x)=2x-2x^2

für x=0,5 => -3/2 => lokales maxima
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von CocaCola
wir wollen doch den rand untersuchen oder? darum -1 und 1

Also (1, 1) haben (leider ohne Erfolg) untersucht, weil wir mittels der Ableitung einen Extremwert vermutet haben. (-1, -1) ist ein Randpunkt von überabzählbar unendlich vielen, den wollen wir nicht einzeln untersuchen, wenn es sich vermeiden lässt. Außerdem habe ich dir gesagt, dass Ableitung und Hessematrix dir bei der Randwertuntersuchung überhaupt nichts bringen! Du siehst im Plot selbst, dass dort die Ableitung nicht 0 ist, man aber trotzdem Extrema findet.

Zitat:
Original von CocaCola
mit haupminor meinst fu f''(x,x) oder

Nein: http://de.wikipedia.org/wiki/Minor_(Mathematik)#Hauptminoren.

Zitat:
Original von CocaCola
f''(x,x)=2x-2x^2

für x=0,5 => -3/2 => lokales maxima

Was hast du denn da schon wieder gemacht? f'' ist eine Matrix. Warum du von der eine Komponente nimmst, die Nullstellen bestimmst und dann magisch auf die Idee kommst, da müsse jetzt ein Maximum sein, und das, obwohl ich dir gesagt schon habe, dass die Hessematrix da indefinit ist (und deshalb dort gar kein Extremum ist), will ich gar nicht wissen.

Konzentrier dich, sonst hat das hier überhaupt keinen Sinn.
CocaCola Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sqrt(2)
Zitat:
Original von CocaCola
wir wollen doch den rand untersuchen oder? darum -1 und 1

Also (1, 1) haben (leider ohne Erfolg) untersucht, weil wir mittels der Ableitung einen Extremwert vermutet haben. (-1, -1) ist ein Randpunkt von überabzählbar unendlich vielen, den wollen wir nicht einzeln untersuchen, wenn es sich vermeiden lässt. Außerdem habe ich dir gesagt, dass Ableitung und Hessematrix dir bei der Randwertuntersuchung überhaupt nichts bringen! Du siehst im Plot selbst, dass dort die Ableitung nicht 0 ist, man aber trotzdem Extrema findet.


hmm ich hab dann ja nur ein maximum. brauch jetzt ja noch das minimum.
wie mach ich das denn jetzt?
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von CocaCola
hmm ich hab dann ja nur ein maximum.

Welches soll das sein? Du hast als erstes herausgefunden, dass für kein Extremum zu finden ist. Dann hast du herausgefunden, dass für Extrema bei (1, 1) und (-0.5, -0.5) sein könnten. Bei (1, 1) war die Hessematrix die Nullmatrix, deswegen wissen wir da (noch) gar nichts. Bei (-0.5, -0.5) war die Hessematrix indefinit, da ist also definitiv nichts.

Wir haben bis jetzt nichts, außer dem Wissen, dass wir am Rand mindestens ein Minimum und mindestens ein Maximum finden werden.

Zitat:
Original von CocaCola
wie mach ich das denn jetzt?

Du kannst f am Rand durch Funktionen darstellen. (Wegen der Symmetrie von f musst du nur zwei Seiten untersuchen, die beide auf einer Seite der Fläche x = y liegen.) Bei denen kannst du ganz normal, wie du es aus Analysis 1 (und der Schule) kennst, nach Extrema suchen.
CocaCola Auf diesen Beitrag antworten »

okay. 1ter teil verstanden
2ter teil keine ahnung!

den rand durch funktionen darstellen

f(x,y)=(-1,-1) und
f(x,y)=(1,1)

wird auf jeden fall falsch sein! Die funktionen bilden den rand ab. oh man keine ahnung. hier setzt mein verstand einfach mal voll aus!
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von CocaCola
f(x,y)=(-1,-1) und
f(x,y)=(1,1)

wird auf jeden fall falsch sein!

Ja. Wenn du sowas hinschreibst, solltest du danach noch einmal genau hinschauen, ob das syntaktisch überhaupt korrekt sein kann. f ist eine Funktion, die nach abbildet, kann also nie und nimmer einen Vektor als Wert annehmen.

Zitat:
Original von CocaCola
Die funktionen bilden den rand ab. oh man keine ahnung.

Was gilt denn am Rand so? für eine Seite z.B. x = -1 und -1 <= y <= 1. Wenn du in f jetzt einfach mal x = -1 einsetzst, bekommst du



Da kannst du nun Extrema suchen. Vergiss nicht, auch hier die Randpunkte y = -1 und y = 1 zu überprüfen.
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »

Kann er nicht die Funktion f : R -> R betrachten und zeigen das f' monoton fallend ist auf [-0.5 , 1].
Demnach wäre ja das Minimum am rechten Rand
Es gibt da auch keine weiter extrema da sie ja (so glaub ich) monoton fallend ist.
Gleiches für das Intervall [-1,-0.5] da müsste sie ja monoton steigend sein also f' >= 0 für alle x aus dem Intervall.

und da schließlich f(-1) = f(1) gilt ist maximum und minimum bestimmt
CocaCola Auf diesen Beitrag antworten »



extremstelle ist eindeutig bei 0,da



f''(-1,0)=2 => lokales minima

y ist auch im intervall

das gleiche für

f'(1,y)=2y

extremum auch bei 0

f''(1,0)=2

also auch lokales minima
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SilverBullet
Kann er nicht die Funktion f : R -> R betrachten und zeigen das f' monoton fallend ist auf [-0.5 , 1].

Welche "die" Funktion? Davon gibt es viele. Du meinst wahrscheinlich die entlang y = x. Damit könnte man zeigen, dass bei (1, 1) ein Minimum ist, aber das muss nicht sein, das sehen wir eh bei der Randuntersuchung.

Zitat:
Original von SilverBullet
Es gibt da auch keine weiter extrema da sie ja (so glaub ich) monoton fallend ist.
Gleiches für das Intervall [-1,-0.5] da müsste sie ja monoton steigend sein also f' >= 0 für alle x aus dem Intervall.

und da schließlich f(-1) = f(1) gilt ist maximum und minimum bestimmt

Davon gibt es noch überabzählbar viele mehr. Von einer eindimensionalen Funktion kannst du nicht auf den ganzen Rest schließen.

Zitat:
Original von CocaCola


extremstelle ist eindeutig bei 0,da


Autsch, Vorzeichen. Außerdem solltest du nicht f' schreiben, das ist was anderes. Schreib g(y) := f(-1, y) und bezeichne die Ableitung mit g'.

Zitat:
Original von CocaCola
f''(-1,0)=2 => lokales minima

Vorzeichenfehler mitgeschleppt, also ein Maximum. Damit ist bei (0, -1) auch eins (Symmetrie).

Zitat:
Original von CocaCola
das gleiche für

f'(1,y)=2y

Nein. f(1, y) = 0, daher ist die Ableitung auch konstant 0.

Die Eckpunkte musst du noch überprüfen und da wirst du feststellen, dass f dort immer 0 ist.

Du hast also Minima bei (-1, 1), bei (1, a) und bei (a, 1), -1 <= a <= 1, und zwei Maxima bei (-1, 0) und (0, -1).
CocaCola Auf diesen Beitrag antworten »

okay, vielen dank für das so späte noch zeit nehmen!

vielen vielen dank, dass du dir meinem problem angenommen hast! ich würde dir auch helfen, wenn ich dir helfen könnte! benutze den konjunktiv verwirrt
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