Logarithmen - Gleichungen lösen?? - Seite 2

30.06.2007, 21:48

Lazarus

Man braucht da schon ein bisschen mehr um das für $\begin{eqnarray*} r\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ zu beweisen. Darum hab ich ja nach der Definition gefragt!

Wäre z.b. sämtliche Potenzgesetzte schon bewiesen und der Logarithmus als Umkehrfunktion zur e-Funktion definiert gehts noch ein Stück schneller:

$\begin{eqnarray*} \ln\left(a^r\right)=\ln\left(e^{r\cdot \ln(a)}\right)=r\cdot \ln(a) \end{eqnarray*}$ .

Aber dass kann ja nicht Sinn der ganzen Übung sein, wo bleibt da der Spass beim Denken ?

02.07.2007, 12:37

Momies

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Also die Funktionalgleichung ist in meinem Buch schon bewiesen, aber
den Logarithmus als Umkehrfunktion zur e-Funtion kenne ich leider noch nicht! verwirrt

Wie kann ich denn die Aufgabe nun lösen???? traurig

02.07.2007, 18:08

Momies

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Kann mir echt niemand weiterhelfen???? Gott

03.07.2007, 08:22

klarsoweit

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Man könnte so rechnen:

$\begin{eqnarray*} c^r = \left( a^{log_a(c)} \right)^r = a^{r \cdot log_a(c)} \end{eqnarray*}$

Jetzt auf beiden Seiten den Logarithmus zur Basis a nehmen:

$\begin{eqnarray*} log_a(c^r) = r \cdot log_a(c) \end{eqnarray*}$

Das Problem an dem Beweis ist, daß die Gültigkeit der Potenzgesetze für alle reellen Exponenten benötigt wird. Ob du das voraussetzen darfst, mußt du selber wissen.

04.07.2007, 16:09

Momies

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Unter der Aufgabe steht noch ne Anleitung:
Gehen Sie von der selbstverständlichen Beziehumg
$\begin{eqnarray*} c=exp_a (log_a (c)) \end{eqnarray*}$ aus, potenzieren Sie diese Gleichung mit r, wenden Sie auf der rechten Seite den Satz 4 an und logarithmieren Sie schließlich die so gewonnene Gleichung mit $\begin{eqnarray*} log_a \end{eqnarray*}$

Dies habe ich nun auch gemacht, habe aber irgendwo einen Fehler:

$\begin{eqnarray*} c = exp_ (log_a (c)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c^r = [exp_a(log_a (c))]^r \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c^r = exp_a (r*log_a (c)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} log_a (c^r) = log_a (r*log_a (c)) \end{eqnarray*}$

seht ihr meinen Fehler irgendwo????

04.07.2007, 17:19

klarsoweit

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Zitat:

Original von Momies
$\begin{eqnarray*} log_a (c^r) = log_a (r*log_a (c)) \end{eqnarray*}$

Hier muß es heißen:
$\begin{eqnarray*} log_a (c^r) = log_a (exp_a(r*log_a (c))) \end{eqnarray*}$

Da log_a die Umkehrfunktion von exp_a ist, heben die sich weg.

Im Prinzip ist das der Beweis, wie ich ihn in meinem Beitrag dargestellt habe. Augenzwinkern

04.07.2007, 17:38

Momies

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Und wieso ist das damit für alle $\begin{eqnarray*} c\in \mathbb R*_+ \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} r\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ bewiesen???

Sorry, dass ich so dumm frage! unglücklich

05.07.2007, 06:24

klarsoweit

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Heidinei!

Aus $\begin{eqnarray*} log_a (c^r) = log_a (exp_a(r \cdot log_a (c))) \end{eqnarray*}$
folgt
$\begin{eqnarray*} log_a (c^r) = r \cdot log_a (c) \end{eqnarray*}$
und genau das war die Behauptung.

Die gemachten Umformungen gelten für $\begin{eqnarray*} c\in \mathbb R_+ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

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