Streumaße

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21.01.2005, 18:59	blondi	Auf diesen Beitrag antworten »
Streumaße Hi! Also hier die Aufgabe: http://www.beepworld.de/memberdateien/members28/blondi-1987/streuen.jpg zu a) Hab dann erst mal für jeden der Springer den Mittelwert seiner Meter-Zahlen ausgerechnet, dann ausgerechnet wie viel Abstand zum Mittelwert durchschnittlich besteht, dann diese Abstände zum Quadrat genommen (letzte Spalte) und durch 5 geteilt, und das ist doch die mittlere quadr. Abweichung, oder? also so sieht das aus für die Erste: http://www.beepworld.de/memberdateien/members28/blondi-1987/chioma.jpg Ist das richtig? zu b) Kann mir einer helfen wie ich das da mach? Muss ich da auch so ne Tabelle wie bei a) machen und wenn ja wie? danke blondi
22.01.2005, 14:52	Steve_FL	Auf diesen Beitrag antworten »
bei a) bin ich mir nicht ganz sicher, aber ich glaube, das müsste richtig sein. So wie ich das verstehe, musst du bei b) auch so eine Tabelle machen und den Mittelwert der Toranzahl bestimmen. Du weisst, bei wievielen Spielen wieviele Tore geschossen wurden. Dadurch kannst du ja auch bestimmen, welche Durchschnittstoranzahl pro Spiel geschossen wurde und dann auch die quadratische Standardabweichung bestimmen. mfg
22.01.2005, 17:33	blondi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, also die Durchschnittsanzahl pro Spiel hab ich errechnet (3,14) aber wie mach ich das mit der quadr. Abweichung??? in der 1. Spalte der Tabelle müssen ja die Toranzahlen hin 0 x 23 1 x 34 2 x 61 ... und in der 2. muss ich ja bei jeder Toranzahl den Mittelwert abziehen. Aber ich kann ja nich z.B. 2x61 minus 3,14 rechnen. Muss ich die Werte aus der linken Spalte irgendwie alle nochmal durch die Anzahl aller Spiele, also durch 306 oder so teilen? Oder durch 11??? Hilfe!!!!!!!!!!!!
22.01.2005, 20:03	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Standardabweichung von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Größen $\begin{eqnarray} x_1,\ldots,x_n \end{eqnarray}$ lässt sich durch $\begin{eqnarray} s^2=\frac{1}{N}\sum\limits_{k=1}^n \left(x_k-\bar{x}\right)^2=\frac{1}{N}\left[\left(\sum\limits_{k=1}^n x_k^2\right)-n\cdot \bar{x}^2\right]\quad \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \quad \bar{x}=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n x_k \end{eqnarray}$ berechnen. Nehmen wie in Aufgabe 2 die $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Größen nur sehr wenige Werte an (wie dort die Toranzahl 0..10) so gibt man oft kurz $\begin{eqnarray} (y_1,h_1),\ldots,(y_m,h_m) \end{eqnarray}$ an, dabei ist $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ die Anzahl der verschiedenen vorkommenden Werte. $\begin{eqnarray} (y_k,h_k) \end{eqnarray}$ soll bedeuten, dass der Wert $\begin{eqnarray} y_k \end{eqnarray}$ genau $\begin{eqnarray} h_k \end{eqnarray}$ -mal vorkommt (h wie "Häufigkeit"). Hier "vereinfachen" sich obige Formeln zu $\begin{eqnarray} s^2=\frac{1}{N}\sum\limits_{k=1}^m h_k\cdot\left(y_k-\bar{x}\right)^2=\frac{1}{N}\left[\left(\sum\limits_{k=1}^m h_k\cdot y_k^2\right)-n\cdot \bar{x}^2\right]\quad \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n=\sum\limits_{k=1}^m h_k\quad \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \quad \bar{x}=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^m h_k\cdot y_k \end{eqnarray}$ . Die "Vereinfachung" bezieht sich dabei nicht auf die Struktur der Formel, sondern auf die Anzahl der zu berechnenden Summenglieder. So hat man in Aufgabe 2 nicht mehr 962 Summenglieder (für jedes Spiel eins), sondern nur noch 11 (für jede Toranzahl eins). So, und nun komme ich noch zu dem heiklen Problem $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ (das ist kein Schreibfehler oben!), wo die Begriffsbildungen in der Statistik leider nicht eindeutig ist. Es gibt sowohl die Auffassung $\begin{eqnarray} N=n \end{eqnarray}$ , die wohl dem Laien am ehesten einleuchtet. Es gibt aber auch die in der "seriösen" Statistik eher vorzuziehende Variante $\begin{eqnarray} N=n-1 \end{eqnarray}$ , dann ist z.B. die Streuung $\begin{eqnarray} s^2 \end{eqnarray}$ ein erwartungstreuer Schätzer für die Streuung $\begin{eqnarray} \sigma^2 \end{eqnarray}$ der zugrunde liegenden Zufallsgröße (der Stichprobe) - für die Variante $\begin{eqnarray} N=n \end{eqnarray}$ haben wir also keine Erwartungstreue! Kurz und gut: Wenn du in der Schule die Variante mit $\begin{eqnarray} N=n \end{eqnarray}$ kennengelernt hast, dann nimm die. (Die besseren statistischen Eigenschaften hat aber, wie gesagt, eher die Wahl von $\begin{eqnarray} N=n-1 \end{eqnarray}$ .) Zum Abschluss schreibe ich mal grob die Rechnung auf, die du in 2.) , Jahr 1987/88, durchzuführen hast (hier mit N=n): $\begin{eqnarray} n=23+34+\ldots+1+1=962\qquad \end{eqnarray}$ (ist ja schon in der Aufgabe vorgegeben) $\begin{eqnarray} \bar{x}=\frac{1}{962}(23\cdot 0+34\cdot 1+\ldots+1\cdot 9+1\cdot 10) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s^2=\frac{1}{962}\left[(23\cdot 0^2+34\cdot 1^2+\ldots+1\cdot 9^2+1\cdot 10^2)-962\cdot\bar{x}^2\right] \end{eqnarray}$ .
22.01.2005, 22:01	blondi	Auf diesen Beitrag antworten »
äh ich kapier überhaupt nichts weil wir das mit den formeln noch nich hatten
22.01.2005, 22:07	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn dich die Formeln schrecken, dann schau dir nur den letzten Absatz an - vielleicht kapierst du an der Beispielrechnung, was ich meine.
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22.01.2005, 22:14	blondi	Auf diesen Beitrag antworten »
den letzten schritt kapier ich nicht
22.01.2005, 22:22	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann mir denken, wo dich der Schuh drückt: Du hast wohl eher an $\begin{eqnarray} s^2=\frac{1}{962}\left[23\cdot (0-\bar{x})^2+34\cdot (1-\bar{x})^2+\ldots+1\cdot (9-\bar{x})^2+1\cdot (10-\bar{x})^2\right] \end{eqnarray}$ gedacht. Das ist auch richtig, aber die Variante von oben ist mathematisch äquivalent dazu (das kann man beweisen, kannst mir da ruhig vertrauen ) und mit erkennbar weniger Rechenaufwand verbunden.
22.01.2005, 22:30	blondi	Auf diesen Beitrag antworten »
ähm und wie rechne ich für jede torzahl einzeln die differenz zum mittelwert aus? oder muss ich das nich?
22.01.2005, 22:38	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn die $\begin{eqnarray} \bar{x}=3.14 \end{eqnarray}$ stimmen, die du oben angegeben hast (hab ich nicht nachgerechnet), dann gilt z.B. für den zweiten Summanden in der Klammer: $\begin{eqnarray} 34\cdot(1-\bar{x})^2=34\cdot(1-3.14)^2=34\cdot (-2.14)^2=155.7064 \end{eqnarray}$ P.S.: Kriegst du jedesmal solche Panik, wenn auch nur die kleinste Variable in einer Rechnung auftaucht (wie hier in der letzten, nun wirkllich nicht komplizierten Darstellung $\begin{eqnarray} s^2=\frac{1}{962}\left[23\cdot (0-\bar{x})^2+34\cdot (1-\bar{x})^2+\ldots+1\cdot (9-\bar{x})^2+1\cdot (10-\bar{x})^2\right] \end{eqnarray}$ die Variable $\begin{eqnarray} \bar{x} \end{eqnarray}$ ? Mit 17 Jahren wird es aber höchste Zeit, das zu ändern - ansonsten solltest du dich zukünftig von der Mathematik fernhalten.
22.01.2005, 22:44	blondi	Auf diesen Beitrag antworten »
ha ha, ich bin die beste in meinem mathekurs, aber dieses zeug hatten wir noch gar nich, wir haben dazu nur ne leichte aufgabe wie in a) gerechnet gehabt
22.01.2005, 23:00	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Na dann lach mal weiter - aber ich bin nach wie vor der Meinung, dass man z.B. Aufgaben der Art "Rechne den Wert von $\begin{eqnarray} \left(a^2-3\cdot a+\frac{10}{b}\right) \end{eqnarray}$ aus, wenn $\begin{eqnarray} a=3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b=2 \end{eqnarray}$ gegeben sind." auch schon mit 15, 16 Jahren beherrschen sollte. Und der letzte Schritt oben zur Berechnung von s² war vom Prinzip auch nichts schwierigeres mehr gewesen, daher meine Verwunderung.
22.01.2005, 23:01	blondi	Auf diesen Beitrag antworten »
ach ja klar, schon verstanden g juhu is ja einfach danke und das ha ha war eher ironisch
22.01.2005, 23:03	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ende gut, alles gut.

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