Punkt auf x-Achse berechnen

22.01.2005, 13:44

Dj_Halay

Punkt auf x-Achse berechnen

Hallo an all bin ma wieder da smile

Hab wieder ma ein problem bei einer Aufgabe .

Die Aufgabenstellung lautet:

Bestimmen Sie den Punkt P der x-Achse, der von den Punkten A=(2,-4,5) und B=(-3,2,7) den gleichen Abstand besitzt.

Ich hoffe ihr könnt mir ma wieder helfen .. smile

mfg

Dj_Halay

22.01.2005, 13:53

grybl

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RE: Punkt auf x-Achse berechnen
Überlege einmale, wie du es zeichnerisch lösen würdest.

und "auf diese Weise" kannst du es dann auch rechnerisch lösen.

oder: wo müssen die Punkte liegen, die von A und B den gleichen Abstand haben? Wie nennt man diesen geometrischen Ort?

22.01.2005, 14:03

Dj_Halay

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Also ehrlich gesagt weis ich nicht was du meinst !!!

Meinst du vielleicht den Ortsvektor?

22.01.2005, 14:05

grybl

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nein ich meine die Streckensymmetrale bzw. Symmetrieebene von A und B, denn alle Punkte, die auf ihr liegen, sind von A und b gleich weit entfernt. smile

22.01.2005, 14:07

Dj_Halay

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hmmmm also das sagt mir auch nichts smile

sonnst wäre ich ja weiter gekommen habe mir eben so skizze gemacht aber weis nicht wie ich weiter kommen soll...

Können sie mir schritweise ma sagen !!! Hilfe

22.01.2005, 14:12

grybl

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Mittelpunkt von AB ermitteln -> M

Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{AB}=\vec{a} \end{eqnarray*}$ erstellen, Normalvektor auf $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ bilden -> $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$

Streckensymmetrale: $\begin{eqnarray*} \vec{x}=\vec{OM} + t\cdot \vec{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{OM} \end{eqnarray*}$ ist Ortsvektor zu M

wäre die Lösungsstrategie in der Ebene

da das Beispiel im Raum ist, wird statt der Streckensymmetrale eine Symmetrieebene normal auf $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ durch M aufgestellt

22.01.2005, 14:36

Dj_Halay

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Also hab jetzt den Mittelpunkt M ermittelt und der würde doch so lauten:
$\begin{eqnarray*} M_{AB} \end{eqnarray*}$ = ½(A + B)= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ -1 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann der Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{AB} \end{eqnarray*}$ würde lauten:
$\begin{eqnarray*} \vec{AB} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -5 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und was meinen sie dan mit den Normalvektor? verstehe ich nicht mehr...also dannach verstehe ich nicht mehr so was gemeint ist.....
Sie muessen so denkten das ich in mathe net so der typ bin smile

22.01.2005, 14:48

grybl

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hier im board sind wir per du smile

leider sehe ich erst jetzt, dass die Aufgabe im Raum ist (überlesen Hammer

)

, daher müssen wir die Lösungsstrategie etwas ändern

es wird keine Streckensymmetrale aufgestellt, sondern eine Symmetrieebene

der Richtungsvektor der Geraden ist zugleich der Normalvektor einer Ebene, die auf $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ normal steht.

da wenden wir nun die Formel für die Normalform an

$\begin{eqnarray*} \vec{n} \cdot \vec{x} =\vec{n} \cdot \vec{m} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ ist in deinem Fall $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -5 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{m}=\vec{OM} \end{eqnarray*}$

22.01.2005, 14:52

Dj_Halay

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Hmmmm jetzt bin ich ja ganz durcheinander unglücklich

weis net mehr wie ich weiter gehen soll gibt es nicht irgendwie einen leichteren weg .................
Sitze jetzt eit 2 stunden auf der aufgabe und hab noch 15 aufgaben die ich lösen muss

22.01.2005, 14:58

grybl

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Rechnen mit Vektoren kannst du oder?

wie habt ihr denn Ebenen aufgestellt?

erzähl mir ein bisschen von deinen Vorraussetzungen, damit wir das Beispiel gemeinsam lösen können, denn nur die Lösung posten ohne zu Verstehen bringt mMn nix

22.01.2005, 15:02

yeti777

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@grybl: Sorry für die Einmischung. Ich denke, der Punkt, zu dem die Abstände gleich sein müssen, wurde mit Bedacht gewählt, weil dann die y- und die z-Koordinate gleich Null sind. Wenn man die Quadrate der euklidischen Abstände gleichsetzt, erhält man eine lineare Gleichung in x, die leicht zu lösen ist.

Gruss yeti

22.01.2005, 15:02

Dj_Halay

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Also können sie mir einfach nict die aufgabe mit schritten lösen weil dann kann ich mir das so einprägen und besser verstehen. Ich weis zwar das sie mir somit helfen würden das ich es selber verstehe aber geht irgendwie nicht.

hier wieder die aufgabenstellung

Bestimmen Sie den Punkt P der x-Achse, der von den Punkten A=(2,-4,5) und B=(-3,2,7) den gleichen Abstand besitzt.

bitte wenns geht mit schritten lösen.

Danke

22.01.2005, 15:11

grybl

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@yeti777:

Zitat:

Sorry für die Einmischung.

ist schon richtig so. Du zeigst den Weg, wie man das Beispiel ohne Symmetrieebene lösen kann. Freude

@Dj_Halay: schaffst du es vielleicht mit yeti777s Ansatz leichter?

22.01.2005, 15:18

yeti777

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@grybl: Danke für das Verständnis smile

@DJ Halay:

Hallo DJ Halay,

Sei $\begin{eqnarray*} \vec{p_1} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{p_2} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ der gesuchte Punkt auf der x-Achse. Jetzt berechnest du die Quadrate der Abstände wie folgt: $\begin{eqnarray*} d_1^2= (\vec{p_1} - \vec{x} )^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d_2^2= (\vec{p_2} - \vec{x} )^2 \end{eqnarray*}$ . Wenn die Abstände gleich sind, sind es auch deren Quadrate! Setze also $\begin{eqnarray*} d_1^2= d_2^2 \end{eqnarray*}$ und löse nach x auf. Fertig!

Gruss yeti

PS. Zur Kontrolle deiner Rechnung: x = -1.700, Abstand = 54.690

23.01.2005, 12:43

Dj_Halay

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Danke Euch alle smile

Hab ja endlich die lösung und durch die formel von yeti777 kam ich weiter smile

mfg

Dj_Halay

23.01.2005, 16:56

grybl

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der Vollständigkeit halber der Weg über die Symmetrieebene:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ -6 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5 \\ -6 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} {-0,5} \\ {-1} \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

=>

5x - 6y - 2z = -8,5

da der Punkt auf der x-Achse liegen soll, sind y = 0 und z = 0

=> x = - 1,7 smile

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