Basistransformation

22.06.2007, 12:39

meli05

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Basistransformation

huhu,

gegeben:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 5 & 1 & \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
alte Basis: $\begin{eqnarray*} \vec{b} = (1,0) ;~\vec{b_2} =(0,1) \end{eqnarray*}$

neue Basis: $\begin{eqnarray*} \vec{b'} = (1,1) ~; \vec{b'_2} =(0,1) \end{eqnarray*}$

gesucht: Welche Darstellung hat A bezüglich der neuen Basen:

1. Schritt

ich habe die Transformationsmatrix bestimmt:

$\begin{eqnarray*} C=\begin{pmatrix} 1 & 1 & \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann die inverse dazu:

$\begin{eqnarray*} C^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

um jetzt meine Matrix A in die neue Basis zu transformieren gilt ja:

$\begin{eqnarray*} A'=C^{-1}\cdot A\cdot C \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 1 & \\ 1 & 5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & \\ 0 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5 & 1 & \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

?? wieso komm ich da wieder auf das selbe ? hab ich mich verechnet oder ist der ansatz falsch? verwirrt

verwirrt

mfg
Meli

22.06.2007, 12:49

therisen

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Hallo,

ich würde

$\begin{eqnarray*} C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

setzen. Damit kommt man auf

$\begin{eqnarray*} A'=\begin{pmatrix} 6 & 1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

22.06.2007, 12:51

WebFritzi

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Geh mal weg von den Trafo-Matrizen. Mach es so: Stelle die Bilder der neuen Basisvektoren durch die Vektoren der neuen Basis dar. Erste Spalte:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}5&1\\1&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\6\end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Finde jetzt alpha und beta raus und schreibe alpha und beta in eine Spalte. Das ist dann die erste Spalte deiner Darstellungsmatrix.

22.06.2007, 13:02

meli05

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therisen dein ergebnis steht in meiner lösung..

aber warum muss ich das denn umdrehen?

eigentlich müssten dann doch beide lösungen stimmen oder?

@webfritzi mit deiner methode komme ich auf

$\begin{eqnarray*} A'=\begin{pmatrix} 5 & 4 & \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

22.06.2007, 13:07

WebFritzi

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War Blödsinn, entschuldige. Hab editiert.

22.06.2007, 13:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von meli05
therisen dein ergebnis steht in meiner lösung..

aber warum muss ich das denn umdrehen?
(

Gegenfrage: warum bist du der Meinung, daß $\begin{eqnarray*} C=\begin{pmatrix} 1 & 1 & \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die Transformationsmatrix ist?

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22.06.2007, 13:29

meli05

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@web fritzi

ah ok und warum A* (1,1)

woher komen die (1,1)

@therisen dein ergebnis steht in meiner lösung..

aber warum muss ich das denn umdrehen?

eigentlich müssten dann doch beide lösungen stimmen oder?

22.06.2007, 13:49

klarsoweit

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Leider hast du nicht auf meine Frage geantwortet.

Die Transformationsmatrix muß so aussehen, daß die Koordinatenvektoren der neuen Basisvektoren bezüglich der neuen Basis multipliziert mit der Transformationsmatrix die Koordinatenvektoren der neuen Basisvektoren bezüglich der alten Basis liefert. Da die alte Basis die kanonische Basis ist, muß man nur die neuen Basisvektoren als Spalten in die Transformationsmatrix eintragen:

$\begin{eqnarray*} C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

22.06.2007, 13:58

meli05

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von meli05
therisen dein ergebnis steht in meiner lösung..

aber warum muss ich das denn umdrehen?
(

Gegenfrage: warum bist du der Meinung, daß $\begin{eqnarray*} C=\begin{pmatrix} 1 & 1 & \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die Transformationsmatrix ist?

ich habe die so berechnet:

$\begin{eqnarray*} b'=xb+yb_2 \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = a\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} +b\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

=> x=1 ; y=1

und

$\begin{eqnarray*} b_2'=x_2b+y_2b_2 \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = a\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} +b\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} x_2=0;~y_2=1 \end{eqnarray*}$

=>C= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ah oder moment sind nicht x,y die spalte 1 und x_2,y_2 die spalte 2

Hammer

Hammer

dann würde ja

C= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

rauskommen und alles passt Freude

Freude

update:

was ist eine kanonische basis und wieso kann ich deshalb einfach die neue basis vekotren als spalten meiner transform. matrix nehmen?

danke für eure super schnelle hilfe!!!

22.06.2007, 14:20

klarsoweit

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Zitat:

Original von meli05
was ist eine kanonische basis und wieso kann ich deshalb einfach die neue basis vekotren als spalten meiner transform. matrix nehmen?

Die kanonische Basis hat pro Basisvektor in einer Komponente das Eins-Element und jeweils in den anderen Komponenten das Null-Element. In dieser Konstellation entsprechen die Koordinaten eines Vektors den einzelnen Komponenten des Vektors.

Da man in die Transformationsmatrix die Koordinaten der neuen Basis bezüglich der alten Basis in die einzelen Spalten einträgt, braucht man also nur die neue Basis als Spalten in die Matrix eintragen, wenn die alte Basis die kanonische Basis ist.

22.06.2007, 14:31

meli05

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ah ok danke smile

smile

problem is jetz nur mit der neuen/richtigen transform.matrix komme ich auch auf:

A'= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 1 & \\ 1 & 5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & \\ 1 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5 & 1 & \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

warum? verwirrt

verwirrt

22.06.2007, 14:46

klarsoweit

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Habe keine Glaskugel. Du solltest aber mal deine Matrizenmultiplikation überprüfen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.06.2007, 14:52

meli05

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ja die müsste stimmen, hab sie hier auch nachgerechnet:

http://www.matheboard.de/matrizen_multiplikation.php

in meiner lösung steht halt das was therisen oben geschrieben hat verwirrt

verwirrt

wie komm ich da drauf?

22.06.2007, 15:03

WebFritzi

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Zitat:

Original von meli05
ja die müsste stimmen

Tut sie aber nicht. Wie wäre es, wenn du selber mal rechnest?

Zitat:

Original von meli05
@webfritzi

ah ok und warum A* (1,1)

Das habe ich geschrieben. Du musst schon alles lesen, was man dir schreibt.

22.06.2007, 15:19

meli05

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A'= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 1 & \\ 1 & 5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & \\ 1 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5 & 1 & \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 & 1 & \\ 1 & 5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & \\ 1 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 6 & 1 & \\ 6 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

A'= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 & 1 & \\ 6 & 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 1 & \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

seh da meine fehler einfach nicht?

ich versuch jetz noch schnell deinen weg

update:

mit deinem weg stimmts ;-)

22.06.2007, 15:23

therisen

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Zitat:

Original von meli05
A'= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 1 & \\ 1 & 5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & \\ 1 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5 & 1 & \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die rechte Seite der Gleichung ist unsinnig.

22.06.2007, 15:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von meli05
A'= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 & 1 & \\ 6 & 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 1 & \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

unglücklich

1. Element in der 1. Zeile wird berechnet durch Skalarmultiplikation von 1. Zeile der 1. Matrix mit 1. Spalte der 2. Matrix = (1; 0) * (6; 6) = 1*6 + 0*6 = 6 Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.06.2007, 15:37

meli05

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sprich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 & 1 & \\ 6 & 5 \end{pmatrix}=... \end{eqnarray*}$

ist nicht das gleiche wie:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 & 1 & \\ 6 & 5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & \\ -1 & 1 \end{pmatrix}=... \end{eqnarray*}$

das hat dann wohl unser prof in seinem beispiel auch falsch gemacht *grrr*

ich danke euch jetzt hätten wir das ja geklärt, wobei ich den weg von webfritzi am übersichtlichsten finde !! DANKE!!

22.06.2007, 15:39

therisen

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Die Matrizenmultiplikation ist i.A. nicht kommutativ!!

23.06.2007, 10:13

WebFritzi

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Zitat:

Original von therisen
Die Matrizenmultiplikation ist i.A. nicht kommutativ!!

Was bedeutet, dass AB i.A. nicht gleich BA ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.06.2007, 10:14

WebFritzi

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Zitat:

Original von meli05
ich danke euch jetzt hätten wir das ja geklärt, wobei ich den weg von webfritzi am übersichtlichsten finde !! DANKE!!

JO, finde ich auch. Aber man macht eigentlich genau das gleiche.

30.06.2012, 16:27

beryll

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Hi,
ich hoffe ich bekomme noch eine antwort, auch wenn der thread schon relativ alt ist. offensichtlich kommt bei deiner vorgehensweise das richtige heraus, aber mir ist nicht klar, warum du das so machen kannst? verwirrt

verwirrt

30.06.2012, 16:33

beryll

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diese frage richtet sich an die methode von webfritzi

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