Integral

22.01.2005, 19:21

dilemma

Integral

Hallo..ich schon wieder!

Hab hier ein Integral:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1+z}{1+z^2}~dz \end{eqnarray*}$

Wie löse ich das am schlausten?

22.01.2005, 19:23

iammrvip

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RE: Integral
hallo nochmal Big Laugh

.

Du machst zwei Brüche draus:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{1+z}{1+z^2}~\mathrm dz = \int\frac{1}{1+z^2}~\mathrm dz + \int\frac{z}{1+z^2}~\mathrm dz \end{eqnarray*}$

jetzt geht's leicht Augenzwinkern

22.01.2005, 19:29

dilemma

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Das nächst mal geb ich einen aus Prost

Ich hätte spontan gesagt, beim ersten kommt $\begin{eqnarray*} ln|1+z^2| \end{eqnarray*}$ raus, aber Maple sagt was anderes, nämlich arctan(z) ?!?

22.01.2005, 19:38

iammrvip

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RE: Integral
hast du den zweiten Summanden vergessen verwirrt

$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{1+z^2}~\mathrm dz = \arctan(z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\frac{z}{1+z^2}~\mathrm dz = \frac{1}{2}\ln|1 + z^2| \end{eqnarray*}$

und jetzt noch die Integrationskonstante nicht vergessen Freude

Das erste ist ein Grundintegral Augenzwinkern

.

Beim Zweiten kannst du Logarithmisches Integrieren anwenden.

22.01.2005, 19:51

Leopold

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Und beim zweiten sollte man die überflüssigen Betragsstriche weglassen.

22.01.2005, 19:53

iammrvip

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Da du das schon mal erwähnt hast, wollte ich mal fragen. Warum muss man die Betragsstriche denn nicht machen?? Hier ist ein Beispiel, wo sie eigentlich hin mussten

22.01.2005, 20:05

dilemma

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Kann man das denn irgendwie herleiten, dass da arctan(z) rauskommt?

Naja, die Betragsstriche kann man weglassen, weil z^2 ja nur positiv sein kann, würd ich mal sagen.

22.01.2005, 20:10

iammrvip

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Japp. Bei diesem Bsp., aber ich meinte allgemein Augenzwinkern

22.01.2005, 20:12

Leopold

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Unbestimmte Integrationen sind nur über Intervallen sinnvoll.

Es sei $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ein Intervall, in dem entweder stets $\begin{eqnarray*} u(x)>0 \end{eqnarray*}$ oder stets $\begin{eqnarray*} u(x)<0 \end{eqnarray*}$ gilt. Bei genügenden Voraussetzungen hinsichtlich Differenzierbarkeit und Stetigkeit gilt dann für alle $\begin{eqnarray*} x \in I \end{eqnarray*}$ bis auf eine additive Konstante

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{u'(x)}{u(x)}~\mathrm{d}x = \begin{cases} \ln{u(x)}, & \text{falls } u(x)>0 \\ \ln{(-u(x))}, & \text{falls } u(x)<0\end{cases} \end{eqnarray*}$

Natürlich kann man beide Fälle zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{u'(x)}{u(x)}~\mathrm{d}x = \ln{|u(x)|} \end{eqnarray*}$

Dann ist man auf der sicheren Seite. Wenn es aber offensichtlich ist, daß $\begin{eqnarray*} u(x)>0 \end{eqnarray*}$ ist, kann man die Betragsstriche auch gleich weglassen.

22.01.2005, 20:14

iammrvip

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Dann hatte ich dich falsch verstanden Augenzwinkern

Zitat:

Original von dilemma
Kann man das denn irgendwie herleiten, dass da arctan(z) rauskommt?

substituiere:

$\begin{eqnarray*} z = \tan u \end{eqnarray*}$

/edit: sorry für den Doppelpost. bitte zusammenfügen.

22.01.2005, 20:45

Leopold

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Diese Geschichte mit dem Betrag beim Logarithmus wird oft falsch verstanden. Was bedeutet z.B. die Formel

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\tan{x}~\mathrm{d}x = - \ln{|\cos{x}|} \end{eqnarray*}$

Zunächst einmal ist wie immer bei unbestimmten Integrationen die Gleichheit keine echte Gleichheit, sondern nur Gleichheit bis auf eine additive Konstante. Aber die Formel ist nur gültig auf einem (jedem) Intervall, in dem der Cosinus keine Nullstelle besitzt, z.B. auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} I = \left(\frac{1}{2} \pi , \frac{3}{2} \pi \right) \end{eqnarray*}$ . Für dieses $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ist sie so zu lesen:

Die Funktionen $\begin{eqnarray*} x \mapsto - \ln{(-\cos{x})} + C \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ eine beliebige reelle Konstante ist, sind genau die Stammfunktionen der Funktion $\begin{eqnarray*} x \mapsto \tan{x} \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ .

Es ist falsch zu glauben, daß durch

$\begin{eqnarray*} - \ln{|\cos{x}|} + C \end{eqnarray*}$

alle Stammfunktionen von $\begin{eqnarray*} \tan{x} \end{eqnarray*}$ auf

$\begin{eqnarray*} D_{\tan} = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \left| \, k \in \mathbb{Z} \right. \right\} \end{eqnarray*}$

gegeben wären. So ist z.B. auch die für alle $\begin{eqnarray*} x \in D_{\tan} \end{eqnarray*}$ definierte Funktion

$\begin{eqnarray*} F(x) = - \ln{|\cos{x}|} + k , \text{ falls } x \in \left(\frac{\pi}{2} + k \pi \ , \ \frac{\pi}{2} + (k+1)\pi \right) \end{eqnarray*}$

eine Stammfunktion des Tangens. Sie ist aber unter den obigen nicht vertreten.

Also noch einmal: Unbestimmte Integrationen beziehen sich immer auf ein Intervall, in dem der Integrand definiert ist, auch wenn dieses Intervall nicht extra erwähnt wird.

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