Existenz von Lösung für Anfangswertproblem

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22.06.2007, 19:52	hmer	Auf diesen Beitrag antworten »
Existenz von Lösung für Anfangswertproblem Hallo an alle! Bisher haben wir nur einfache Anfangswertprobleme betrachtet, wo man mit Trennung der Veränderlichen weiterkommt. Bei dieser Aufgabe versteh ich nicht wirklich was ich machen soll: Betrachte das Anfangswertproblem $\begin{eqnarray} x'''(t) = t^3(x(t)+x'(t)+x''(t)) \end{eqnarray}$ mit den Anfangswerten: $\begin{eqnarray} x(0) = 1, x'(0) = 1/2, x''(0) = 0 \end{eqnarray}$ Zeige, dass die Lösung des AWP auf ganz IR existiert. Ich hab schon ein wenig rumprobiert, aber noch keinen passenden Lösungsansatz gefunden (wir haben bisher Ansätze für lineare, homogene und inhomogene Differentialgleichungen, und die Bernoulli-Differentialgleichung) explizit gelöst. Meine Frage war: hab ich da etwas übersehen, bzw. muss ich bei der Aufgabenstellung das AWP gar nicht lösen, sondern anders die Existenz der Lösung auf ganz IR zeigen? Für Tipps, Schlagwörter etc. bin ich auf jeden Fall dankbar! Grüße Hmer
23.06.2007, 10:01	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz von Lösung für Anfangswertproblem transformiere die dgl 3. ordnung in ein system 1. ordnung. dann siehst du die globale existenz, denn das system 1. ordnung ist linear mit stetigen koeffizienten.
23.06.2007, 13:30	hmer	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo matheorakel :-) hmm als ansatz für die transformation kann ich doch nehmen: $\begin{eqnarray} p(t) = x''(t) \end{eqnarray}$ Dann hab ich als System: $\begin{eqnarray} p(t) = x''(t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p'(t) = t^3(x(t) + x'(t) + p(t)) \end{eqnarray}$ Oder muss ich jetzt noch eine dritte Variable einführen, z.B. $\begin{eqnarray} q(t) = x'(t) \end{eqnarray}$ ?, dann hab ich ein Systme mit drei Gleichungen. Gruß und dank schon mal, hmer
23.06.2007, 13:59	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
setze u=x, v=x', w=x'' und leite eine dgl 1. ordnung für den 3-D vektor (u,v,w) her!
23.06.2007, 18:48	hmer	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo orakel! ich probier das mal: $\begin{eqnarray} x'''(t) = t^3(x(t)+x'(t)+x''(t)) \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} u(t) = x(t), v(t) = x'(t), w(t) = x''(t), \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w'(t) = t^3(u(t)+v(t)+w(t)) \end{eqnarray}$ , d.h. mein System ist doch dann: $\begin{eqnarray} \frac{d}{dt} \begin{pmatrix} u(t) \\ v(t) \\ w(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v(t) \\ w(t) \\ w'(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v(t) \\ w(t) \\ t^3(u(t)+v(t)+w(t)) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich weiß jetzt nicht ob das so passt, wie es sollte, aber ich nehme mal an ich weiß jetzt auf was das hinauslaufen soll. Wir haben einen Satz, der besagt, dass lineare Differentialgleichungen mit stetigen Koeffizienten stets globale Lösungen besitzen.
23.06.2007, 22:29	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
so ist es richtig. und der satz, den du kennst ist auch angebracht fuer deine aufgabe! well done
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24.06.2007, 16:57	hmer	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo orakel! ich meld mich nochmal, denn mir ist noch nicht ganz klar, ob ich auch schon die komplette gewünschte form aus dem Satz hergestellt habe. Der Satz ist: Seien $\begin{eqnarray} A(t) \in \mathbb{R}^{n x n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b(t) \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ stetig. Die Anfangsdaten $\begin{eqnarray} t_0 \in \mathbb{R}, x_0 \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ . Dann existiert die Lösung x(t) von $\begin{eqnarray} x'(t) = A(t) \cdot x(t) + b(t) \end{eqnarray}$ auf ganz R. Ich seh hier nicht direkt die Matrixmultiplikation. $\begin{eqnarray} \frac{d}{dt} \begin{pmatrix} u(t) \\ v(t) \\ w(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v(t) \\ w(t) \\ w'(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v(t) \\ w(t) \\ t^3 u(t)+t^3 v(t)+t^3 w(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Der Vektor der "unbekannten" ist doch der Vektor $\begin{eqnarray} (u(t), v(t), w(t)) \end{eqnarray}$ , oder? Grüße und vielen dank hmer
24.06.2007, 18:36	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
deine matrix A(t) lautet $\begin{eqnarray} \begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\t^3&t^3&t^3\end{bmatrix} \end{eqnarray}$
26.06.2007, 15:28	hmer	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo orakel! ich mag jetzt nicht wirklich dumm klingen, aber woher weiß ich, dass A(t) stetig ist, bzw. mir ist nicht klar, wie ich das zeigen kann... die Matrix hab ich gesehen, bekommt man, wenn man diese Matrix A mit dem Vektor der unbekannten mutlipliziert, das ist mir nun klar. Gruß und dank für die Hilfe, hmer
26.06.2007, 15:43	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
die matrix-wertige abbildung $\begin{eqnarray} t\mapsto A(t) \end{eqnarray}$ ist stetig, falls alle komponenten von A(t) stetig sind! stetigkeit einer matrix-wertigen abbildung ist ja über matrix-normen definiert. da kommen auf ganz natürliche art und weise die einzelnen komponenten von A(t) ins spiel!
26.06.2007, 23:19	hmer	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo orakel! ja ich erinnere mich. bei vektorwertigen abbildungen haben wir die stetigkeit auch komponentenweise betrachtet. die verbindung zwischen den matrixnormen und der stetigkeit versteh ich aber nicht wirklich. Soll das heißen, dass wenn eine Komponente nicht stetig ist, dass sich das auf die Norm dann "überträgt"? Ich hätte jetzt vermutet, dass da etwa was verzerrt wird... Gruß hmer
27.06.2007, 12:06	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn mindestens eine komponente der matrix A(t) nicht stetig ist, dann ist auch die matrixwertige abbildung $\begin{eqnarray} t\mapsto A(t) \end{eqnarray}$ nicht stetig.

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