Eigenschaft in K^{2x2}

22.06.2007, 21:48

CocaCola

Eigenschaft in K^{2x2}

Es sei $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb{K}^{2x2} \end{eqnarray*}$

Man zeige

$\begin{eqnarray*} p_A \ne \chi_A \Leftrightarrow \text{ Es gibt ein } a \in K \text{ mit } A=aE \end{eqnarray*}$

p_A = Minimalpolynom
chi_A = charakteristische Polynom

Habe so angefangen:

Ich weiß dass

$\begin{eqnarray*} p_A \leq \chi_A \end{eqnarray*}$

Da aber gelten muss

$\begin{eqnarray*} grad(p_A) \geq 1 \ne grad(\chi_A) \end{eqnarray*}$

folgt kinderleicht

$\begin{eqnarray*} grad(p_A)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} grad(\chi_A)=2 \end{eqnarray*}$

Jetzt der teil, wo ich zweifel

Da die Matrix A ähnlich der Jordanmatrix ist folgt daraus, dass die Jordanmatrix folgendermaßen aussieht

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

da die Jordanmatrix, da die Polynome verschieden sind, in 2 Blöcke unterteilt sind!

Was sagt ihr dazu?
Glaube der Schritt, dass die Matrix A ähnlich oder sogar gleich der Jordanmatirx zu A ist, ist falsch. Wäre aber schön!

23.06.2007, 09:22

Leopold

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$\begin{eqnarray*} p_A \end{eqnarray*}$ hat also den Grad 1 und ist normiert, etwa $\begin{eqnarray*} p_A(x) = x - a \end{eqnarray*}$ . Und jetzt berechne einmal $\begin{eqnarray*} p_A(A) \end{eqnarray*}$ .

23.06.2007, 13:09

CocaCola

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wieso ist denn $\begin{eqnarray*} p_A \end{eqnarray*}$ normiert? woraus kann man das sehen?

ach ich hab nen mega dummen fehler gemacht! zum glück habe ich drüber geschlafen

die Jordanmatrix ist natürlich nicht

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

sondern

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}b & 0 \\ 0 & c\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

für

$\begin{eqnarray*} \chi_A = (x-b)(x-c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_A(A)= (x-b) \text{ oder } (x-c) \end{eqnarray*}$

oder?

23.06.2007, 14:02

SilverBullet

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Ist es nicht so, dass wenn du 2 verschiedene Eigenwerte hast also b und c dann kann dein Minimalpolynom diese Matrix nicht annulieren wenn es grad 1 hat.

Demzufolge müssen die Eigenwerte identisch sein.

23.06.2007, 14:12

CocaCola

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okay wenn die gleich sind, dann ist doch schon gezeigt, dass

$\begin{eqnarray*} A=aJ=aE \end{eqnarray*}$

oder?

23.06.2007, 16:51

SilverBullet

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Das muss man glaub ich erst noch zeigen, du weißt bisher das deine Matrix A ähnlich zu der Matrix aE ist.

Also $\begin{eqnarray*} A=SaES^{-1} \end{eqnarray*}$

24.06.2007, 18:05

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} p_A \end{eqnarray*}$ hat also den Grad 1 und ist normiert, etwa $\begin{eqnarray*} p_A(x) = x - a \end{eqnarray*}$ . Und jetzt berechne einmal $\begin{eqnarray*} p_A(A) \end{eqnarray*}$ .

Du kennst doch die Definition des Minimalpolynoms - oder?

24.06.2007, 19:37

WebFritzi

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Das Minimal polynom ist doch als normiert definiert. Sonst wäre es ja nicht eindeutig.

25.06.2007, 18:24

CocaCola

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Zitat:

Original von WebFritzi
Das Minimal polynom ist doch als normiert definiert. Sonst wäre es ja nicht eindeutig.

gehirnlücke aufgefüllt. da mal was drin und jetzt gehts nie wieder raus!

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