Matrixgröße per Induktion beweisen?

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23.06.2007, 11:47	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrixgröße per Induktion beweisen? Hallo, ich stehe grade vor einem kleinen Problem. Ich soll zeigen, dass das Produkt zweiter oberen Dreiecksmatrizen wieder eine ist. Das Ganze ist mir grundsätzlich klar, allerdings weiß ich nicht ob Induktion hier das Mittel der Wahl ist. Ich würde wie folgt vorgehen: Sei n die Anzahl der Zeilen sowie Spalten. *Induktionsanfang: $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$* Hier nehme ich zwei Matrizen und zeige, dass es klappt. Induktionsvoraussetzung: Es gilt für Matrizen der Größe n. *Induktionsschritt $\begin{eqnarray} n\to n+1 \end{eqnarray}$* Hier ist nun mein Problem, das mir nicht ganz klar ist, wie ich die Induktionsvoraussetzung ins Spiel bringen kann... Könnt ihr mir einen Tipp geben? Viele Grüße -- MrMilk
23.06.2007, 11:59	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixgröße per Induktion beweisen? Braucht man dafür Induktion? Schreib doch mal Allgemein die Berechnung eines Eintrags in der "Produkt-Matrix" hin. Dann überlege, was aufgrund der Dreiecksgestallt alles Null ist. Damit müßte es rauskommen. (Fallunterscheidungen bzgl i,j)
23.06.2007, 12:16	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo tigerbine, du meinst eine Falluntescheidung, wenn i>j ist korrekt? Viele Grüße -- MrMilk
23.06.2007, 12:21	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, oder j > i wenn Du es Zeilenweise liest. In der ersten Matrix brauchst du die Zeilen in der Zweiten die Spalten.
23.06.2007, 15:05	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo tigerbine, angenommen A und B sind meine Matrzien und C ist das Produkt davon. Nun muss ich doch eigentlich nur zeigen, dass das Element $\begin{eqnarray} c_{ij}\in C \end{eqnarray}$ wo gilt $\begin{eqnarray} i>j \end{eqnarray}$ wieder null ist, richtig? So könnte ich mir doch einen Falluntescheidung sparen, da mir alle anderen Elemente egal sind. Sehe ich das noch richtig? Vermutlich muss ich dieses über die Summe von $\begin{eqnarray} c_{ij} \end{eqnarray}$ zeigen. Allerdings muss ich gestehen, bin ich mir nicht wirklich ich ob es reicht zu schreiben, dass die ersten (j-1) Multiplikationen sowie die letzten i Multiplikationen null ergeben, so dass immer als Summe 0 heraus kommt. Kannst du mir vielleicht einen Tipp geben? Viele Grüße -- MrMilk
23.06.2007, 15:12	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} A=(a_{ij}), B=(b_{ij}) \in\mathcal{M}_n(\mathbb R) \end{eqnarray}$ In Position $\begin{eqnarray} (i,j) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} C:=AB \end{eqnarray}$ steht $\begin{eqnarray} c_{ij}:=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} \end{eqnarray}$ Du musst zeigen, dass $\begin{eqnarray} c_{ij}=0 \end{eqnarray}$ , sobald $\begin{eqnarray} i>j \end{eqnarray}$ . Dazu musst du verwenden, dass $\begin{eqnarray} a_{ik}=0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i>k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_{kj}=0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k>j \end{eqnarray}$ . Gruß, therisen
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23.06.2007, 15:24	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo therisen. vermutlich dann die Summen auseinander ziehen an der $\begin{eqnarray} j-1;j \end{eqnarray}$ , so kann ich die Nullen in beiden Summen festsetzen und siehe da es ist 0, richtig? Viele Grüße -- MrMilk
23.06.2007, 15:28	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Auseinanderziehen würde ich nichts, aber du wirst schon wissen, was du tust
23.06.2007, 16:03	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo therisen. Hier ist was ich meine: Sei $\begin{eqnarray} c_{ij}\in C,\,i>j \end{eqnarray}$ . Somit folgt doch: $\begin{eqnarray} c_{ij}&=&\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\cdot b_{kj}\\&=&\sum_{k=1}^{j}a_{ik}\cdot b_{kj}+\sum_{k=j+1}^{n}a_{ik}\cdot b_{kj}\\&=&\sum_{k=1}^{j}0\cdot b_{kj}+\sum_{k=j+1}^{n}a_{ik}\cdot0\\&=&0 \end{eqnarray}$ Das sollte doch so stimmen, oder? Viele Grüße --MrMilk
23.06.2007, 16:08	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist richtig (oben hast du von j-1 gesprochen). Ich hätte aber mehr Zwischenschritte im Kopf gemacht Gruß, therisen
23.06.2007, 16:43	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo therisen, vielen Dank für die Antwort. Du weißt doch das ich immer mehr Schritte machen muss Das was ich oben geschrieben habe, war für eine untere Dreiecksmatrix, richtig? Allerdings ist jeweils immer der anderen Faktor das Nullelement, sprich: $\begin{eqnarray} c_{ij}&=&\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\cdot b_{kj}\\&=&\sum_{k=1}^{j-1}a_{ik}\cdot b_{kj}+\sum_{k=j}^{n}a_{ik}\cdot b_{kj}\\&=&\sum_{k=1}^{j-1}a_{ik}\cdot0+\sum_{k=j}^{n}0\cdot b_{kj}\\&=&0 \end{eqnarray}$ Korrekt? Viele Grüße -- MrMilk
23.06.2007, 17:38	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Matrix $\begin{eqnarray} (c_{ij})_{1\leq i,j\leq n} \end{eqnarray}$ mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray} c_{ij}=0 \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} i>j \end{eqnarray}$ nennt man obere Dreiecksmatrix.
23.06.2007, 17:49	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ich habe gezeigt, dass einen obere Dreiecksmatrix diese Eigenschaft erhatlen bleibt. Mich interessierte nun einfach nur, ob das für eine untere Dreiecksmatrix auch so gilt. Hier müsste dann die Eigenschaft $\begin{eqnarray} i<j \end{eqnarray}$ gelten und ort wird dann in der Summe j-1 statt j geschrieben, sprich was ich eben geschrieben hab, korrekt? Viele Grüße -- MrMilk
23.06.2007, 19:26	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde eher nach i "aufspalten": $\begin{eqnarray} c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}=\sum_{k=1}^i a_{ik}b_{kj}=0 \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} i<j \end{eqnarray}$ . Gruß, therisen EDIT: Tippfehler ausgebessert, danke MrMilk
23.06.2007, 23:00	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo therisen, müsste nicht beides klappen? Zumindest wäre das aus meinem Verständnis so... Kann es sein, dass du dich beim ersten a in der Summer vertippt hast? Viele Grüße -- MrMilk
23.06.2007, 23:10	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
zum Thema untere Dreiecksmatrix. du "hast" bisher gezeigt $\begin{eqnarray} R_1,~R_2 \text{ obere Dreiecksmatrizen } \Rightarrow R_3:=R_2R_1\text{ obere Dreiecksmatrix} \end{eqnarray}$ Was ist denn dann $\begin{eqnarray} (R_2R_1)^T \end{eqnarray}$ ?
23.06.2007, 23:21	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo tigerbine. bitte nicht böse nehmen , aber was sagt mir das T? Das kenne ich leider nicht? Meinst du mit $\begin{eqnarray} R_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R_2 \end{eqnarray}$ bei mir A und B bzw. mit $\begin{eqnarray} R_3 \end{eqnarray}$ C? Meint du ich habe nur $\begin{eqnarray} A\cdot B \end{eqnarray}$ gezeigt und nicht noch $\begin{eqnarray} B\cdot A \end{eqnarray}$ ? Viele Grüße --MrMilk
23.06.2007, 23:31	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
R wir oft als Bezeichnung für eine obere Dreiecksmatrix verwendet, so wie L für eine Untere. Das T im Exponeten bedeutet Transponiert.
24.06.2007, 09:01	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo tigerbine. Leider stehe ich immer noch auf dem Schlauch. Ich habe gezeigt, dass zwei obere Dreiecksmatrizen wieder eine obere ergeben, hat hat mir auch therisen zugestimmt. Aber war gibt es nun noch zu zeigen? Viele Grüße -- MrMilk
24.06.2007, 11:23	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst per Transponieren das zeigen, was du zeigen willst mithilfe dessen, was du schon gezeigt hast.
24.06.2007, 11:28	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo WebFritze, ist das war ich geschrieben habe auch für eine untere Dreiecksmatrix korrekt? Therisen hätte lieber anders gemacht... Viele Grüße -- MrMilk
24.06.2007, 11:30	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Kläre das mit therisen. tigerbine hat auf eine elegantere Methode hingewiesen.
24.06.2007, 11:54	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab mir deine Rechnung mal angeschaut. Diese ist richtig. An Transponieren habe ich auch gedacht, aber ich hatte schon die Befürchtung, dass das MrMilk nur noch mehr verwirrt Gruß, therisen
24.06.2007, 12:07	MrMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dann vielen Dank an euch alle ;-) @therisen: Jep, hätte mich verwirrt G Viele Grüße -- MrMilk
24.06.2007, 12:12	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest es dir trotzdem anschauen. Das Transponieren ist eine wichtige Operation in der linearen Algebra.

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