poisson-prozess (1)

23.06.2007, 12:17

Sunwater

poisson-prozess (1)

Hi...

ich folgende Aufgabe:

Es sei $\begin{eqnarray*} (N_t)_{t \in [0,10]} \end{eqnarray*}$ ein Poisson-Prozess mit Intensität $\begin{eqnarray*} \lambda = 1 \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} X_1,...,X_{10} \end{eqnarray*}$ bezeichnen wir die Anzahl der Ereignisse in den disjunkten Zeitintervallen $\begin{eqnarray*} (0,1],(1,2],...,(9,10] \end{eqnarray*}$ . Bestimme die Verteilung von $\begin{eqnarray*} M = \max (X_1,...,X_{10}) \end{eqnarray*}$ . Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass $\begin{eqnarray*} X_1 = 4 \end{eqnarray*}$ und dass $\begin{eqnarray*} M = 4 \end{eqnarray*}$ .

ok - das ist meine erste Aufgabe zum Poisson-Prozess - ich hoffe ich hab ihn richtig verstanden...

fangen wir mal an:

$\begin{eqnarray*} P(M=t) = P(\max (X_1,...,X_{10}) = t ) = 10 \cdot P(X_1 = t) \cdot P(X_2 \leq t ) \cdot ... \cdot P(X_{10} \leq t) \end{eqnarray*}$

da, die Zeitintervalle disjunkt sind, sind die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ unabhängig und die Verteilung aller $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ ist eine $\begin{eqnarray*} Poisson(1) \end{eqnarray*}$ Verteilung, weil die Intervalllänge immer 1 ist und die Intensität auch 1.
Eines der $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ muss das Maximum t annehmen, ohne Einschränkung kann man sagen, dass es $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ ist. Und es gibt dafür 10 Möglichkeiten.

somit gilt dann:

$\begin{eqnarray*} P(M=t) = 10 \cdot \frac{e^{-1}}{t!} \left( \sum_{k=0}^t P(X_1 = t) \right)^9 = 10 \cdot \frac{e^{-1}}{t!} \left( \sum_{k=0}^t \frac{e^{-1}}{k!} \right)^9 \end{eqnarray*}$

richtig?

für die anderen beiden Sachen gilt:

$\begin{eqnarray*} P(X_1 = 4) = \frac{1}{e \cdot 4!} \approx 1,53% \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(M = 4 ) = 10 \cdot \frac{e^{-1}}{24} \cdot \left( 2*\frac{e^{-1}}{1} + \frac{e^{-1}}{2} + \frac{e^{-1}}{6} + \frac{e^{-1}}{24}\right)^9 \approx 14,83% \end{eqnarray*}$

stimmt das so?

23.06.2007, 15:25

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Zitat:

Original von Sunwater
$\begin{eqnarray*} P(\max (X_1,...,X_{10}) = t ) = 10 \cdot P(X_1 = t) \cdot P(X_2 \leq t ) \cdot ... \cdot P(X_{10} \leq t) \end{eqnarray*}$

Nein, so geht's nicht: Du kannst nicht einfach den Faktor 10 davorsetzen, denn du zählst einige Ereignisse dann mehrfach, wenn nämlich das Maximum von mehreren der $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ zugleich angenommen wird...

Richtig wird es, wenn du so vorgehst:

$\begin{eqnarray*} P(M\leq t) = P(\max (X_1,...,X_{10}) \leq t ) = P(X_1 \leq t) \cdot P(X_2 \leq t ) \cdot ... \cdot P(X_{10} \leq t) \end{eqnarray*}$

und dann

$\begin{eqnarray*} P(M=t) = P(M\leq t) - P(M\leq t-1) \end{eqnarray*}$ .

23.06.2007, 21:22

Sunwater

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stimmt - hab ich nicht bedacht, mit dem mehrfach annehmen...

aber dein Weg leuchtet ein...

danke

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