Summe

23.06.2007, 13:22

3,14

Summe

Mich interessiert $\begin{eqnarray*} [x] \end{eqnarray*}$ (Gaußklammer) mit

$\begin{eqnarray*} x=\sum_{k=1}^{1000000}~\frac{1}{\sqrt{k} } \end{eqnarray*}$ .

Wie kommt man jetzt von der Summe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{\sqrt{k} } \end{eqnarray*}$

auf die Abschätzung

$\begin{eqnarray*} 2 \sqrt{k+1} - 2 \sqrt{k} < \frac{1}{\sqrt{k} } < 2 \sqrt{k} - 2 \sqrt{k-1} \end{eqnarray*}$

?

23.06.2007, 13:24

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe

Zitat:

Original von 3,14
Mich interessiert $\begin{eqnarray*} [x] \end{eqnarray*}$ (Gaußklammer) mit

$\begin{eqnarray*} x=\sum_{k=1}^{1000000}~\frac{1}{\sqrt{k} } \end{eqnarray*}$ .

Wie kommt man jetzt von der Summe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{\sqrt{k} } \end{eqnarray*}$

auf die Abschätzung

$\begin{eqnarray*} 2 \sqrt{k+1} - 2 \sqrt{k} < \frac{1}{\sqrt{k} } < 2 \sqrt{k} - 2 \sqrt{k-1} \end{eqnarray*}$

Wo genau spielt da jetzt die Gaußklammer eine Rolle? verwirrt

23.06.2007, 13:34

3,14

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gaußklammer ist Teil der Aufgabe...
Nachdem man die Ungleichung bewiesen hat, kann man daraus dann $\begin{eqnarray*} 1998 < x < 1999 \end{eqnarray*}$ herleiten, womit die Aufgabe erfüllt ist.

23.06.2007, 14:08

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe
Beweise die Gültigkeit dieser Ungleichungen für alle $\begin{eqnarray*} k\geq 1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von 3,14
$\begin{eqnarray*} 2 \sqrt{k+1} - 2 \sqrt{k} < \frac{1}{\sqrt{k} } < 2 \sqrt{k} - 2 \sqrt{k-1} \end{eqnarray*}$

Summiere dann alle Ungleichungen für $\begin{eqnarray*} 1\leq k\leq n \end{eqnarray*}$ auf.

23.06.2007, 14:16

3,14

Auf diesen Beitrag antworten »

Yo,
aber meine Frage war eigentlich wie man auf die Abschätzung kommt. Augenzwinkern

23.06.2007, 15:41

Auf diesen Beitrag antworten »

Willst du wissen, wie man drauf kommt - oder wie man diese Ungleichung beweist? Augenzwinkern

23.06.2007, 16:16

3,14

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie man darauf kommt...

25.06.2007, 21:25

3,14

Auf diesen Beitrag antworten »

25.06.2007, 22:46

Auf diesen Beitrag antworten »

Selbe Antwort wie hier:

Nullteiler + ggT

Aber doch noch ein Versuch: Tatsächlich kannst du die Summe oben auch als Ober- bzw. Untersumme eines passenden Integrals der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ betrachten, und kommst dann auf diese Ungleichung.

26.06.2007, 11:24

3,14

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit $\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{\sqrt{x} } ~dx = 2 \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ gilt also:

$\begin{eqnarray*} \int_{k}^{k+1}~\frac{1}{\sqrt{x} }~dx < \frac{1}{\sqrt{x}} < \int_{k-1}^{k}~\frac{1}{\sqrt{x} }~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 2 \sqrt{k+1} - 2 \sqrt{k} < \frac{1}{\sqrt{x}} < 2 \sqrt{k} - 2 \sqrt{k-1} \end{eqnarray*}$

Wieso genau gilt dieser Zusammenhang? bzw. führt das immer zu einer richtigen Abschätzung?

26.06.2007, 14:35

brain man

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe mir das mal näher angesehen und komme zu folgender ( wahrscheinlich trivialer ) These :

$\begin{eqnarray*} \int_{k}^{k+1}~f(x)~dx < \int_{k-1}^{k}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$

gilt nur, falls die Funktion im Intervall $\begin{eqnarray*} [k-1,k+1] \end{eqnarray*}$ monoton wächst. Liegt monotoner Fall im besagten Intervall vor, gilt :

$\begin{eqnarray*} \int_{k}^{k+1}~f(x)~dx > \int_{k-1}^{k}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$

Beispiele :

26.06.2007, 14:59

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

@3,14

Für mein Auge wurde das Integral lediglich gelöst. Und warum die Ungleichung gilt ist ja ziemlich ersichtlich (ansonsten siehe Post über mir)

air

Neue Frage »

Antworten »

Summe

Verwandte Themen