Klausurvorbereitung LAAG

23.01.2005, 20:49	Bier17	Auf diesen Beitrag antworten »
Klausurvorbereitung LAAG Gegeben sei die Matrix A. Betrachten Sie den Fall, dass der zugrunde liegende Körper Z/3 ist. Sei U der Unterraum aller d in K^4, so dass Ax=d lösbar ist. Bestimmen Sie eine Basis von U. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & -3 & 3 \\ 1 & 1 & 0 & -2 & 5 \\ 2& 1 & 5 & 1 & 5\\ 1 & -3 & 2 & 0 & -9 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2& 1 & 2 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mal die Matrix Z/3 gemacht. Nun muss man einfach mal allgemeine Buchstaben wählen und losrechnen. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & a \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 2 & b \\ 2& 1 & 2 & 1 & 2 & c \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & d \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & a \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 2 & a+b \\ 0& 1 & 1 & 1 & 2 & 2a+c \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a+d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun kann man weiter auf Stufenform bringen (weiß allerdings nicht wozu... ist eher Gewohnheit) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & a \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 2 & a+b \\ 0& 1 & 1 & 1 & 2 & 2a+c \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a+d \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & a \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 2 & a+b \\ 0& 0 & 0 & 0 & 0 & a+2b+c \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a+d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So nun weiß ich, dass a+d=0 und a+2b+c=0 gelten müssen. Aber wie komm ich jetzt zu einer Basis des Unterraums? Woher weiß ich welche Dimension dieser hat?
24.01.2005, 18:06	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
deine "Gewohnheit" ist hier schon der richtige Weg und du hast es auch schon fast geschaft. Du suchst einen Unterraum von K^4, und du hast 2 lineare Gleichungen (die unabhängig sind) also hat dein Unteraum dim 4-2=2 Eine Basis kriegst du, imdem du jetzt a und b frei wählst und dann die passenden c und d berechnest. Also zB für den ersten Basisvektor a=1 und b=0 und für den zweiten umgekehrt. Dafür jeweils ein c und d ausrechnen, so das die beiden Gleichungen erfüllt sind, et voilà
24.01.2005, 21:39	Bier	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Aber kann ich auch einfach a+d=0 und a+2b+c=0 ausrechnen? Dann erhalte ich $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und man erhält als Lösung $\begin{eqnarray} t(0,1,1,0) +s(2,2,0,1) \end{eqnarray}$ Was macht man hier? $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 0 & 2 & a \\ 1 & 0 & 0 & 2 & 2 & b \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 2 & c\\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & d \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 0 & 2 & a \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 0 & 2a+b \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 2 & c\\ 0 & 2 & 2 & 0 & 2 & a+d \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 0 & 2 & a \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 0 & 2a+b \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & a+2b+c\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & b+d \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 0 & 2 & a \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 0 & 2a+b \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & a+2b+c\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & c+d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt hab ich ja wenn ich richtig gerechnet hab keine Gleichung der Form irgendwas=0. Was muss ich jetzt tun?? Was heißt Gleichungen sind lin. unabh.?
24.01.2005, 22:01	Bier17	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh Mann!!!!! $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 0 & 2 & a \\ 1 & 0 & 0 & 2 & 2 & b \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 2 & c\\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & d \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 0 & 2 & a \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 0 & 2a+b \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 2 & c\\ 0 & 2 & 2 & 0 & 2 & a+d \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 0 & 2 & a \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 0 & 2a+b \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & a+2b+c\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & b+d \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 0 & 2 & a \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 0 & 2a+b \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & a+2b+c\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2a+2b+2c+d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ so in der Hoffnung, dass das jetzt so stimmt.... Jetzt könnte man ja wieder die Lösungen bestimmen. Wieso muss man aber nur die Gleichungen irgendwas=0 betrachten?? Also meine Lösung: (2,1,0,0), (2,0,1,0), (1,0,0,1) Kann das jemand mal rechnen und sagen ob das stimmt?

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