Dimension eines Unterraums von R[x]

23.01.2005, 21:46	Bier17	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension eines Unterraums von R[x] Es sei $\begin{eqnarray} p=x^3-4x+1 \in \mathbb R_{[x]} \end{eqnarray}$ Wir definieren: $\begin{eqnarray} U:=\{pq: q \in \mathbb R _{[x]}\} \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie die Dimension von U und R[x]/U. So also ich weiß, dass die Dimension des Faktorraums durch $\begin{eqnarray} dim R[x]-dim U \end{eqnarray*}$ errrechnet werden kann. Der R[x]hat wohl die Dimension n oder? Wie bestimmt man die Dimension von U? Was ich mir überlgt hab ist, dass man keine Polynome vom Grad kleiner 3 (mit Ausnahme des Nullpolynoms) darstellen kann. Also würden die Polynom mit Grad 0, die mit Grad 1, und die mit Grad2 fehlen. Hat U dann die Dimension n-3? Oder hab ich was entscheidendes nicht bedacht?
24.01.2005, 09:55	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
der R[x] hat wohl keine endliche dimension...... du kannst ja leicht überlegen, wie eine einfache basis von diesem aussähe {1,x,x²,.............} da der grad eines polynoms zwar fest ist, aber trotzdem jedes n (aus IN) überschreiten kann, kannst du hier keine endliche basis angeben. ähnliches folgt auch für U..... aber deine 2. überlegung ist da schon besser..... aber nicht so wie du sie anstellst...... wieso sollten die polynome vom grad kleinergleich 3 da nicht drin liegen? was bedeutet denn z.b. die faktorisierung des ringes Z auf 2Z, also Z/2Z? liegen da alle zahlen von Z außer 0 und 1 drin?! mfg jochen
24.01.2005, 16:15	Bier17	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmm. hab heute den Tipp bekommen, dass ich das Komplement von U in R[x] betrachten soll. Dieses hat die Dimension 3, oder? Eine Basis davon wäre B:={1,x,x^2,} Problem: Allerdings ist mir nicht klar, ob man durch p*q alle Polynome 3.Grades kreieren kann...... besser gesagt ich denke nicht, dass das geht. In dem Komplement müssen also auch Polynome vom Grad 3 liegen, oder? Hat dann das Komplement Grad 4??
24.01.2005, 16:29	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
boah hab mich schon wieder verlesen.... habe R[x]/p gedacht.... da muss ich nochmal drüber nachdenken, bin jetzt auch momentan überfragt....
26.01.2005, 21:14	Bier17	Auf diesen Beitrag antworten »
OK. Weiß nun wies geht, man ergänzt die Basis des Unterraums zu einer Basis von R[x]. Dies macht man in dem man die Vektoren 1,x,x^2 hinzunimmt. Daraus folgt sofort, dass die Basis von R[x]/U B:={1+U, x+U, x^2+U} ist. Also hat der Faktorraum die Dimension3.

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