Beweis

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Funktionselch Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis
Hallo!

Bräuchte mal einen kleinen Denkansatz bei einer Aufgabe aus LA II, bei der ich keine so rechte Idee habe:

Seien A, B reelle m Kreuz m Matrizen und sei U = A + iB eine komplexe und unitäre Matrix,d.h. es gelte U^-1 = D^t, wobei D durch A-iB definiert ist. Zeigen Sie, dass die reelle 2m x 2m Matrix

( A B)
(-B A)

in Sp(2m) enthalten ist.

Bin für jede Anregung dankbar!
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis
Was verstehst du unter Sp(..) ?
quarague Auf diesen Beitrag antworten »

man kann mit der Eigenschaft U unitär sagen:
U^(-1)=A^t-iB^t
also
I=U^(-1)*U=(A^t-iB^t)(A+iB)=A^tA+B^tB+iA^tB-iB^tA
und damit
A^tA+B^tB=I und
A^tB=B^tA
damit müsste sich schon was anfangen lassen, was genau hängt aber wie Arthur gesagt hat, von deiner def von Sp(2m) ab.
Funktionselch Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Also: Sp steht für "symplektische Gruppe", die eine Untergruppe der linearen Gruppe ist.
Das sagt mir zwar immer noch nichts, aber vielleicht irgend jemandem anderen hier?!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

http://mathworld.wolfram.com/SymplecticGroup.html
Funktionselch Auf diesen Beitrag antworten »

Und hat jemand ne Idee für die Aufgabe? Ich komme nämlich auf nix und würde aber gerne wa verstehen...
 
 
quarague Auf diesen Beitrag antworten »

mit meinem vorherigen Post sieht man, das die Matrix
A B
-B A
orthogonal ist, daher ihr transponiertes ist gleich dem Inversen.
ich würde die Sachen auf der Wolframseite so verstehen, das ein Skalarprodukt von Signatur n,n auf dem Vektorraum R^2n durch diese Matrix erhalten bleibt. Das kann man dann einsetzen und durchrechnen, ich bin nicht sicher ob es so schon genau stimmt, aber damit sollte man ungefähr sehen, was da so passiert.
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