Doppelintegral

24.06.2007, 12:38

benyo

Doppelintegral

Wenn ich ein Doppelintegral lösen soll und die Integrationsreihenfolge ändern soll, was muss ich da tun?

Habe mir überlegt für z.B.:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}\int_{y}^{y^2+1}~f(x,y)~dx~dy \end{eqnarray*}$

A.) $\begin{eqnarray*} 0\leq y\leq 1 \end{eqnarray*}$
B.) $\begin{eqnarray*} y\leq x\leq y^2+1 \end{eqnarray*}$

Nun die Integrationsreihenfolge ändern:

A.) $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 2 \end{eqnarray*}$
B.) $\begin{eqnarray*} x\leq y\leq \sqrt{x-1} \end{eqnarray*}$

aber irgendwie passt das nicht unglücklich

Es soll ja das selbe herauskommen...

24.06.2007, 13:02

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A.) ist richtig, aber bei B.) ist dir einiges durcheinander geraten: Die linke Grenze ist tatsächlich die rechte, und umgekehrt... Allerdings bedarf es da noch Korrekturen an beiden Grenzen, kurzum:

$\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 2,\quad \sqrt{\max\{x-1,0\}} \leq y \leq \min\{x,1\} \end{eqnarray*}$

Ist sicher einfacher zu verstehen, wenn man das ganze nach zwei x-Intervallen getrennt betrachtet:

$\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 1,\quad 0 \leq y \leq x \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 1< x\leq 2,\quad \sqrt{x-1} \leq y \leq 1 \end{eqnarray*}$ .

24.06.2007, 13:25

benyo

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Wenn ich mir den Graphen ansehe, müsste es nicht dann so sein:

-> $\begin{eqnarray*} 1< x\leq 2,\quad \sqrt{x-1} \leq y \leq x \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Arthur Dent
[...]
$\begin{eqnarray*} 1< x\leq 2,\quad \sqrt{x-1} \leq y \leq 1 \end{eqnarray*}$

Der Bereich für y wird doch von meiner Geraden x eingeschlossen und nicht von 1? Oder sehe ich das falsch?

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}\int_{\sqrt{x-1}}^{x}~f(x,y)~dy~dx \end{eqnarray*}$

24.06.2007, 13:27

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Schau dir den Graph nochmal genau an und erinnere dich an das ursprüngliche y-Intervall $\begin{eqnarray*} 0\leq y\leq 1 \end{eqnarray*}$ .

24.06.2007, 13:34

benyo

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Um es mal "dumm" auszudrücken:

y wird ja von drei Faktoren begrenzt. x,sqrt(x-1),1

Aber umsetzen kann ich das nicht. unglücklich

24.06.2007, 13:38

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Ok, mal salopp ausgedrückt: Das zweidimensionale Integrationsgebiet, um das es hier geht, ist das in meiner Skizze erkennbare, rechts an der roten Linie "eingedellte" Parallelogramm mit den Eckpunkten (0,0) , (1,1), (2,1), (1,0). D.h., es ist dort begrenzt von der grünen, blauen, roten Linie sowie der x-Achse. Und jetzt solltest du nochmal nachdenken.

24.06.2007, 14:25

benyo

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Ne, sorry. Ich weiß welches Gebiet gemeint ist, aber umsetzen geht nicht.

Hammer

24.06.2007, 18:10

benyo

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Also ich hab es dann mal so versucht:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}(\int_{\sqrt{x-1}}^{1}~f(x,y)~dy+\int_{{0}}^{x}~f(x,y)~dy)~dx \end{eqnarray*}$

Aber wie erwartet nur Müll am Ende...

24.06.2007, 19:06

benyo

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Auch ein blindes Huhn findet mal ein Korn.

Ich habe mir nochmals den Graphen angesehen und diesmal erkannt, worauf Arthur hinaus wollte.

Also ich habe das ganze nun so gelöst, dass ich zwei Bereiche betrachte.

Einmal die Fläche, die von der Geraden und der x-Achse eingeschlossen wird und die Fläche, die die Parabel und unsere Grenze 1 einschließt. Dafür habe ich dann nun auch die x-Koordinaten unterschiedlich betrachten müssen.

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~\int_{0}^{x}~f(x,y)~dy~dx+\int_{1}^{2}~\int_{\sqrt{x-1}}^{1}~f(x,y)~dy~dx \end{eqnarray*}$

Damit habe ich dann auch das gleiche Endergebnis bekommen.

Vielleicht geht es auch einfacher oder auch nicht. Ohne Skizze wäre es sehr kompliziert Hammer

Bin aber Arthur sehr dankbar. Freude

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