Schwerpunkt einer Raute

24.06.2007, 16:26

Milkaschokolade

Schwerpunkt einer Raute

Hallo,

zwei gleichseitige Dreiecke werden aneinandergelegt. So entsteht eine Raute mit den Seiten a und den Winkeln 60°, 120°, 60° und 120°.

Jetzt soll mit Hilfe der Integralrechnung der Schwerpunkt dieser Fläche bestimmt werden.

Dazu muss ich ja zunächst mal ein Koordinatensystem (zwei Dimensionen reichen, oder?), um/an die Raute legen, damit nachher auch Schwerpunktkoordinaten rauskommen.
Wo lege ich dann am besten den Nullpunkt rein? In die Mitte (das wird ja wohl der Schwerpunkt sein) oder in eine Ecke?

Zur Koordinatenberechnung hab ich folgende Formeln gefunden:

$\begin{eqnarray*} xs=\frac{1}{A} \int_{A}^{}~x~dA \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} ys=\frac{1}{A} \int_{A}^{}~y~dA \end{eqnarray*}$

So wie mir das scheint, muss ich zunächst den Flächeninhalt berechnen.

Der ist ja $\begin{eqnarray*} A(Raute)=0,5*Diagonale 1*Diagonale 2 \end{eqnarray*}$ .

Aber wie komme ich auf die Längen der Diagonalen? Und was sind das überhaupt für Funktionen, die da integriert werden müssen? Und wie kriege ich die Integralgrenzen raus?

24.06.2007, 18:01

Leopold

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Sorry - die Kritik geht nicht an dich! Aber diese Aufgabe ist doch selten dämlich! Eine Raute besitzt zwei orthogonale Symmetrieachsen, also ist deren Schnittpunkt der Schwerpunkt. Wozu mit der Integralrechnung kompliziert ausdrücken, was man eh schon weiß!

Wenn du es dennoch machen willst, dann lege die Raute $\begin{eqnarray*} ABA'B' \end{eqnarray*}$ so in das Koordinatensystem, daß die Koordinatenachsen ihre Symmetrieachsen werden, also z.B.

$\begin{eqnarray*} A = \left( - \frac{a}{2} \, , \, 0 \right) \, , \ \ A' = \left( \frac{a}{2} \, , \, 0 \right) \, , \ \ B = \left( 0 \, , \, - \frac{\sqrt{3}}{2} a \right) \, , \ \ B' = \left( 0 \, , \, \frac{\sqrt{3}}{2} a \right) \end{eqnarray*}$

Die Werte ergeben sich aus den Symmetrieeigenschaften der Raute und der Formel für die Höhe im gleichseitigen Dreieck (Pythagoras). Natürlich wird die Rechnung dann $\begin{eqnarray*} x_S = 0, \, y_S = 0 \end{eqnarray*}$ ergeben. Die zu berechnenden Integrale sind Bereichsintegrale

$\begin{eqnarray*} x_S = \frac{1}{A} \int_A~x~\mathrm{d}(x,y) \, , \ \ y_S = \frac{1}{A} \int_A~y~\mathrm{d}(x,y) \end{eqnarray*}$

Was das ist, solltest du wissen. Sonst kannst du die Aufgabe nicht lösen.

24.06.2007, 18:16

Milkaschokolade

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Wenn ich die Raute so in das Koordinatensystem lege, wird es aber schwer den Flächeninhalt per Integralrechnung zu berechnen, oder? Und den brauche ich ja für die Schwerpunktkoordinatenberechnung.
(Wir sollen den Flächeninhalt mit Hilfe eines Doppelointegrals berechnen...)

Ich habe momentan folgende Koordinaten gewählt:

$\begin{eqnarray*} A(-\frac{a}{2};0) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B(\frac{a}{2};0) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} C(0;\frac{\sqrt{3}a}{2}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D(a;\frac{\sqrt{3}a}{2}) \end{eqnarray*}$ .

Dann kann ich nämlich das Dreieck im zweiten Quadranten in den ersten Quadranten an dern Rest der Raute verschieben, sodass ich ein rechtwinkeliges Rechteck hab. Der Flächeninhalt ist dann $\begin{eqnarray*} A=\sqrt{0,75}a^2 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt hab ich nur noch das Problem mit den Grenzen bei der Schwerpunktberechnung. Da kann ich ja nicht mit dem Rechteck, sondern ich muss mit der Raute arbeiten...

Kann mir da noch jmd helfen?

24.06.2007, 18:32

Leopold

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Warum machst du es so kompliziert und nutzt nicht die Symmetrie des Koordinatensystems aus? Mein Vorschlag ist da wesentlich besser.

24.06.2007, 18:36

Milkaschokolade

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Ja wie gesagt: Ich muss ja erstmal den Flächeninhalt berechnen. Und das mit einem Doppelintegral. Wenn ich das so mache, wie du vorschlägst, weiß ich nicht was ich für y-Grenzen nehmen muss. die x-Grenzen wären ja $\begin{eqnarray*} -\frac{a}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{a}{2} \end{eqnarray*}$ .
Aber die "oberen" und "unteren" Kanten der Raute sind ja keine Funktionen, die ich als Grenzen einsetzen kann... Oder?

24.06.2007, 18:40

Leopold

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Du brauchst $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gar nicht zu berechnen, wenn du es wie von mir vorgeschlagen machst. Denn dann wird sich der Integralwert automatisch als 0 herausstellen, der Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{|A|} \end{eqnarray*}$ interessiert dann nicht mehr.

24.06.2007, 19:38

Milkaschokolade

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Ok, da hast du Recht.

Ich hab dich jetzt so verstanden, dass ich als x-Grenzen $\begin{eqnarray*} \pm \frac{a}{2} \end{eqnarray*}$ und als y-Grenzen $\begin{eqnarray*} \pm\frac{\sqrt{3}a}{2} \end{eqnarray*}$ nehmen soll. Wenn ich das mache, komme ich natürlich auf den Schwerpunkt $\begin{eqnarray*} S(0;0) \end{eqnarray*}$ .

Ich verstehe jetzt aber noch nicht, warum ich die y-Grenzen so wählen muss, wie ich das gemacht habe. Ich hab im Hinterkopf, dass man als x-Grenzen immer zwei von y unabhängige Punkte nimmt (d.h. einfach einen Bereich auf der x-Achse --> senkrechte Geraden als Grenzen) und als y-Grenzen von x abhängige Funktionen/Kurven.

Leider finde ich kein Bild, welches beschreibt, was ich genau meine. Aber falls ihr den Papula Band 2, 10. Auflage habt: Ich meine das Bild auf Seite 367.

24.06.2007, 20:33

Leopold

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Da hast du wohl falsch gerechnet. Du mußt auch hier die Grenzen des inneren Integrals in Abhängigkeit von der Variablen des äußeren Integrals bestimmen. Allerdings ist es für $\begin{eqnarray*} x_S \end{eqnarray*}$ günstiger, außen über $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ zu integrieren. Der Bereich für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ist natürlich $\begin{eqnarray*} \left[ -\frac{\sqrt{3}}{2} \, a \, , \, \frac{\sqrt{3}}{2} \, a \right] \end{eqnarray*}$ (in der Zeichnung ist beispielhaft ein $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ eingetragen).

Die zugehörigen Werte $\begin{eqnarray*} x_{\text{links}} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x_{\text{rechts}} \end{eqnarray*}$ können mit Hilfe der Geradengleichungen ermittelt werden (sie hängen natürlich von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ab, was ich in der Bezeichnung nicht zum Ausdruck gebracht habe). Offenbar muß man eine Fallunterscheidung treffen, je nachdem, ob $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ positiv oder negativ ist:

$\begin{eqnarray*} x_S = \frac{1}{|A|} \int \limits_{-\frac{\sqrt{3}}{2} \, a }^{\frac{\sqrt{3}}{2} \, a }~\int \limits_{x_{\text{links}}}^{x_{\text{rechts}}}~x~\mathrm{d}x~\mathrm{d}y = \frac{1}{|A|} \left( \int \limits_{-\frac{\sqrt{3}}{2} \, a }^{0}~\int \limits_{x_{\text{links}}}^{x_{\text{rechts}}}~x~\mathrm{d}x~\mathrm{d}y \ + \ \int \limits_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2} \, a }~\int \limits_{x_{\text{links}}}^{x_{\text{rechts}}}~x~\mathrm{d}x~\mathrm{d}y \right) \end{eqnarray*}$

Da aber $\begin{eqnarray*} x_{\text{links}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{\text{rechts}} \end{eqnarray*}$ symmetrisch bezüglich Null liegen, muß das Integral über die ungerade Funktion $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ja Null ergeben. Du kannst das natürlich auch ausrechnen.

$\begin{eqnarray*} y_S \end{eqnarray*}$ berechnet man entsprechend. Natürlich ist hier die umgekehrte Integrationsreihenfolge die günstigere.

24.06.2007, 20:55

Milkaschokolade

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Oh, also ist es doch komplizierter als ich erst vermutete. Ja, die Geradengleichungen. Die verstehe ich ja eigentlich, nur weiß ich nicht wie man auf die Steigungen $\begin{eqnarray*} \pm {\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$ kommt. Also die Vorzeichen sind mir alle klar nur eben nicht der Betrag der Steigung.

So und ab dann verstehe ich jetzt nicht mehr viel. Was ist mit $\begin{eqnarray*} x_\text{links} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x_\text{rechts} \end{eqnarray*}$ gemeint? Ich kann das aus der Zeichnung irgendwie nicht erkennen... Sind das jetzt die x-Grenzen $\begin{eqnarray*} \pm\frac{a}{2} \end{eqnarray*}$ ? Ich wundere mich nur, dass die gestrichelten Linien ja nicht bis zur rechten und linken Rautenecken gehen...
Und vorallem verstehe ich nicht, wie man aus den beiden oberen und den beiden unteren Gerade jeweils jetzt eine Funktion macht, die ich dann als y-Grenze einsetzen kann.

Also, wenn noch jmd motiviert ist, mir versuchen das zu erklären: Bitte. Wenn nicht, kann ich das auch verstehen, es ist wahrscheinlich echt mühselig, da ich nicht viel verstanden hab bisher.

EDIT: Das mit der Steigung ist mir gerade klar geworden!!

25.06.2007, 11:29

Leopold

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Die Frage bezüglich der Grenzen hast du doch schon selbst beantwortet:

Zitat:

Original von Milkaschokolade
Ich hab im Hinterkopf, dass man als x-Grenzen immer zwei von y unabhängige Punkte nimmt (d.h. einfach einen Bereich auf der x-Achse --> senkrechte Geraden als Grenzen) und als y-Grenzen von x abhängige Funktionen/Kurven.

Und genau so mußt du es auch hier machen, nur daß du die Rollen von $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ vertauschen sollst (jedenfalls, wenn du meinem Vorschlag folgst).

Ich hätte besser $\begin{eqnarray*} x_{\text{links}}(y) \end{eqnarray*}$ schreiben sollen. Du mußt sozusagen die Strecke, die auf dem Niveau $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ parallel zur $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse ausgeschnitten wird, auf die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse projizieren. Das gibt dir das Intervall $\begin{eqnarray*} \left[ x_{\text{links}}(y) \, , \, x_{\text{rechts}}(y) \right] \end{eqnarray*}$ für das innere Integral. Um die Werte zu finden, mußt du ja nur die entsprechenden Geradengleichungen nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auflösen. Aufgrund der Symmetrie können sich die Werte nur im Vorzeichen unterscheiden. Du mußt dann nur beachten, daß für $\begin{eqnarray*} y \leq 0 \end{eqnarray*}$ (siehe Beispiel in der Figur) andere Geradengleichungen zuständig sind als für $\begin{eqnarray*} y \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Und dann wirf noch einmal einen Blick auf meinen vorigen Beitrag.

27.06.2007, 21:31

Milkaschokolade

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Ah sorry, dass ich jetzt erst antworte, hab es leider vergessen.
Also nochmal danke für die Erklärung, ich glaub ich hab es verstanden!

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