Max. Volumen von Quader bestimmen in einem Ellipsoid

24.06.2007, 17:37	Cloud777	Auf diesen Beitrag antworten »
Max. Volumen von Quader bestimmen in einem Ellipsoid Hallo, ich habe probleme folgenden Lösungsweg der Aufgabe nachzuvollziehen: Bestimme das größstmögliche Volumen eines achsenparallelen Quaders, den dem Ellipsoid $\begin{eqnarray} \frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2} + \frac {z^2}{c^2} = 1 \end{eqnarray}$ eingeschrieben ist. Der Lösungsweg lautet folgendermaßen: Das Volumen beträgt V(x,y,z) = 8xyz. Die Nebenbedingng wäre $\begin{eqnarray} \frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2} + \frac {z^2}{c^2} -1 = 0 \end{eqnarray}$ . Von V(x) und f(x) werden dann die Gradienten gebildet. Damit dann $\begin{eqnarray} V(x_0,y_0,z_0) \end{eqnarray}$ unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray} f(x_0,y_0,z_0) = 0 \end{eqnarray}$ ein Extremum annimt, muss dann gelten: a) $\begin{eqnarray} 8y_0z_0 = 2 u \frac {x_0}{a^2} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} 8x_0z_0 = 2 u \frac {y_0}{a^2} \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} 8x_0y_0 = 2 u \frac {z_0}{a^2} \end{eqnarray}$ (es wurden einfach die einzelnen Komponenten der Gradienten von V und f gleichgesetzt. Mit $\begin{eqnarray} u \in R \end{eqnarray}$ ) So, und folgendes verstehe ich irgendwie nicht. 1. Wieso soll V(x,y,z) = 8xyz gelten? Das soll sich doch auf das Volumen des Quaders beziheen, oder? Aber dann müsste es ja eigentlich V(x,y,z) = xyz heißen. Aber das ist hier ja nicht der Fall. Wiso nicht? 2. Ich verstehe nicht, warum die einzelnen Komponenten der Gradienten gleich gesetzt wurden. Wieso sollen die Punkte a-c gelten? Ich bin euch für jede Hilfe sehr dankbar
24.06.2007, 18:40	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Max. Volumen von Quader bestimmen in einem Ellipsoid punkte a-c folgen aus der Lagrange'schen Multiplikatorenregel. u heißt dann Lagrange-Multiplikator. warum allerdings das volumen mit 8xyz angegeben ist, weiß ich auch nicht. vielleicht steht da noch mehr in der aufgabenstellung oder es ist nur eine skalierung.
24.06.2007, 19:22	magneto42	Auf diesen Beitrag antworten »
Erklärung zum Faktor 8: x,y,z befinden sich innerhalb _eines_ Oktanten des Koordinatensystems und bilden mit dem _Ursprung_ einen Quader mit dem Volumen xyz. Aufgrund der Symmetrie des Ellipsoids ist dann das gesuchte _Gesamtvolumen_ halt acht mal so groß.
25.06.2007, 18:10	Cloud777	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich bins nochmal. Ich habe so im großen und ganzen die Aufgabe verstanden. Nur mit dem Volumen von V(x,y,z) = 8xyz habe ich immer noch ein Problem. Ich habe es leider immer noch nicht verstanden, weshalb da ein Faktor 8 davor kommt. Ich habe die AUfgabe mal mit einem Volumen von V(x,y,z) = xyz gerechnet. Und da erhalte ich das selbe ergebniss wie mit V(x,y,z) = 8xyz. Würdet ihr denn sagen, dass es falsch wäre mit einem Volumen V(x,y,z) = xyz zu rechnen? Denn das wäre momentan für mich noch einleuchtender. Das mit dem Faktor 8 kappiere ich irgendwie nicht ...
25.06.2007, 21:15	Cloud777	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich müsste das doch gehen, oder? das man nur mit dem Volumen V(x,y,z) = xyz rechnet, oder?
25.06.2007, 23:03	magneto42	Auf diesen Beitrag antworten »
Gehen wir erstmal zweidimensional vor. Nimm ein normales Koorinatensystem mit x-/y-Achse; zeichne eine Ellispe hinein; such dir einen beliebigen Punkt (x,y) auf der Ellipse. xy ist dann das Rechteck von diesem Punkt aus bis zum Ursprung. Analog zu Deiner Aufgabe soll das gesuchte Rechteck aber über _alle_ Quadranten gehen, d.h. die Ellipse an _vier_ Punkten berühren. Die gesuchte Fläche wäre also 4xy. In drei Dimensionen hat man halt quadermäßig _acht_ Ecken in _acht_ Oktanten. Wenn Du V=xy*z rechnest hast du halt nur ein achtel des gesuchten Volumens.
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25.06.2007, 23:21	Rosaleid	Auf diesen Beitrag antworten »
Und so sieht's aus:
26.06.2007, 00:25	Cloud777	Auf diesen Beitrag antworten »
, jetzt habe ich es verstanden. Vielen dank euch allen. Vielen, vielen Dank :-)

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