Flächenberechnung sinus

24.01.2005, 16:59

beachboy

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Flächenberechnung sinus

Hi,

wie kann ich die Fläche von sin(4x) berechnen? und zwar [0;p/2(=3)]

ich weiß das ich das irgendwie mit der normalen sinus funktion: sin (x) vergleichen kann da ist ja die Fläche von [0; $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ] =2

kann man das so machen? Wenn nicht, kann mir jemand sagen wie ich die Stammfunktionen von sinus-funktionen bilde? von sin(4x) ist das -1/4cos(4x) ????? aber wie ist es z.B. bei 5sin(0,8x) oder $\begin{eqnarray*} \cos(\frac{\pi }{2} )x+1 \end{eqnarray*}$

hoffe mir kann jemand helfen smile

smile

lg
beach

24.01.2005, 17:08

Mazze

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Ok

Ansich musst Du da nicht viel anders machen. Bei

$\begin{eqnarray*} \cos(\frac{\pi x}{2} )+1 \end{eqnarray*}$

Musst Du halt den cosinus einzeln Integrieren und die 1 auch. (Stammfunktion von 1 ist x). Ansonsten weißt Du ja das

$\begin{eqnarray*} cos(ax)' = -asin(ax) \end{eqnarray*}$

und allgemein ist

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} bcos(ax) + c dx = (\frac{bsin(ax)}{a} + cx) + d \end{eqnarray*}$

wobei c und d Konstanten sind. Das kannst Du in etwa für sinus übernehmen nur musst Du mit den Vorzeichen aufpassen.

edit

Also das was hier steht ist schon richtig aber ich habs für

$\begin{eqnarray*} \cos(\frac{\pi x}{2} )+1 \end{eqnarray*}$

gemacht. Also beachten!

24.01.2005, 17:08

iammrvip

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RE: Flächenberechnung sinus

Zitat:

Original von beachboy
[0;p/2(=3)]

Was heißt denn das verwirrt

verwirrt

Zitat:

von sin(4x) ist das -1/4cos(4x) ?????

Vergleichen bringt hier nicht viel. Die Stammfunktion stimmt doch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

aber wie ist es z.B. bei 5sin(0,8x)

Du ziehst die 5 aus den Integral (Faktorregel)

$\begin{eqnarray*} 5\int \sin(0.8x)\mathrm dx \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \cos(\frac{\pi }{2} )x+1 \end{eqnarray*}$

Wenn du hier nach x integrierst, brauchst du den Cosinus doch gar nicht betrachten:

$\begin{eqnarray*} \int\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)x + 1 = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\frac{x^2}{2} + x + C \end{eqnarray*}$

24.01.2005, 17:08

Calvin

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RE: Flächenberechnung sinus
Ja, die Stammfunktion für f(x)=sin(4x) stimmt. Durch Ableiten kannst du das leicht nachprüfen.

Wenn du als Argument einer Funktion (also auch beim sin, cos, tan, usw) eine lineare Funktion hast, dann ist die Stammfunktion oft einfach zu bestimmen. Es gilt z.B. $\begin{eqnarray*} \int f(x)=\sin(ax+b)dx = -\frac{1}{a}\cos(ax+b) + c \end{eqnarray*}$

Oder allgemein: $\begin{eqnarray*} \int f(ax+b)dx = \frac{1}{a} F(ax+b) + c \end{eqnarray*}$ .

Konstante Faktoren vor der Funktion bleiben einfach als Faktor erhalten, da sie vor das Integral gezogen werden können.

Konstante Summanden werden "normal" integriert. Also in der Art $\begin{eqnarray*} \int f(x)+3dx = F(x) + 3x + c \end{eqnarray*}$ .

Ich gebe zu, das war ein bißchen formal. Aber verstehst du ja trotzdem, wie es gemeint ist.

24.01.2005, 17:10

iammrvip

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Zitat:

Original von Mazze
Musst Du halt den cosinus einzeln Integrieren

Das x steht doch nach dem Cosinus!

$\begin{eqnarray*} \cos\left(\frac{\pi }{2}\right)\cdot x+1 \end{eqnarray*}$

ist sowieso sinnlos, da

$\begin{eqnarray*} \cos\left(\frac{\pi }{2}\right) = 0 \end{eqnarray*}$

24.01.2005, 17:13

Mazze

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Tjo das macht alles noch viel Einfacher. Betrachte das cos(pi/2) einfach als Konstante. Denn nichts anderes ist es. Dann musst du lediglich x Integrieren was relativ einfach ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das es 0 ist macht garnix. Man kann auch 0*x integrieren. Kommt zwar des selbe raus, aber allgemein betrachtet ist es halt egal was davor steht.

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24.01.2005, 18:33

beachboy

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Stimmt das so ??

$\begin{eqnarray*} 5\cdot \int_{0}^{4}~sin(0,8x)~dx =[-\frac{5}{4}cos(0,8x) ]_{0}^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =-\frac{5}{4} cos(0,8\cdot 4)-(-\frac{5}{4}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =2,4\cdot 5 =12,48 \end{eqnarray*}$

Aufgabenstellung lautete:

Wie groß ist die Fläche von f mit der x-Achse in [0; $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} p \end{eqnarray*}$ ] und p (also die Periode) ist ja bei dieser Funktion ~4 oder??

danke schon mal für eure hilfe Augenzwinkern

Augenzwinkern

lg
beach

24.01.2005, 18:36

iammrvip

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Zitat:

Original von beachboy
$\begin{eqnarray*} [-\frac{5}{4}cos(0,8x) ]_{0}^4 \end{eqnarray*}$

Die Stammfunktion stimmt nicht unglücklich

unglücklich

substituiere beim ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} u = 0.8x \end{eqnarray*}$

dann müsste es klappen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

beim zweiten: 4 (FE) schließt der Graph in einer Periode mit der x-Achse. stimmt.

24.01.2005, 18:44

beachboy

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wie meinst du substituieren??? raff ich nicht ??

lg
beach

24.01.2005, 18:48

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

habt ihr schon Substitutionsmethode beim Integrieren behandelt verwirrt

verwirrt

24.01.2005, 18:51

beachboy

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öhmm ich glaube nicht, stehe grad aufm schlauch, sehe auch mein Fehler nicht ????

lg
beach

24.01.2005, 18:55

iammrvip

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du hast du 5 vorm Integral vergessen:

$\begin{eqnarray*} 5\left(-\frac{5}{4}\right) = -\frac{25}{4} \end{eqnarray*}$

oder verwirrt

verwirrt

du kannst ja mal deine Funktion ableiten, dann wirst du feststellen, dass die fehlt.

24.01.2005, 19:39

beachboy

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dachte man kann die 5 einfach aus dem Integral ziehen, und dann eben am Schluss das ergebnis mit 5 multiplizieren ????

hat irgendjemend oben geschrieben....

lg
beach

24.01.2005, 20:03

iammrvip

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Japp, das war ich Big Laugh

Big Laugh

. Aber das Problem ist hier, dass die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \sin(0.8x) \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} -\frac{5}{4}\cos\left(\frac{4}{5}x\right) \end{eqnarray*}$ ist. Das liegt daran, dass die Funktion verkettet ist.

ps: $\begin{eqnarray*} 0.8 = \frac{4}{5} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

24.01.2005, 20:10

beachboy

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also war meins richtig aber das x fällt weg oder wie ??? warum ?? aber ich brauch doch nen x oder?? sonst kann ich ja net mit 4 und null multiplizieren'?

lg
beach

24.01.2005, 20:25

iammrvip

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sorry. schreibfehler meinerseits traurig

traurig

Also nochmal richtig:

$\begin{eqnarray*} \int\sin\left(\frac{4}{5}x\right) = -\frac{5}{4}\cos\left(\frac{4}{5}x\right) + C \end{eqnarray*}$

24.01.2005, 20:33

beachboy

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aber so hat ichs doch oder ?? :-( raff gar nix mehr *g*

aber mein ergebnis scheint auch zu stimmen sofern ich das mit GTR im schaubild richtig sehe smile

smile

lg
beach

mal ne andere Frage is bei sin(4x) von [0,p/2] das Integral 0 ??? okay frage hat sich erledigt hab doch 0,5 raus was zu stimmen scheint....

24.01.2005, 20:40

iammrvip

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Also nochmal ganz in Ruhe.

Du suchst die Stammfunktion von

$\begin{eqnarray*} \int 5\sin\left(\frac{4}{5}x\right) \mathrm dx \end{eqnarray*}$

dazu ziehen wir erstmal die 5 aus dem Integral:

$\begin{eqnarray*} 5\int\sin\left(\frac{4}{5}x\right) \mathrm dx \end{eqnarray*}$

Die eigentliche Berechnung muss über Substitution erfolgen, da es sich hier um eine verkettete Funktion handelt:

$\begin{eqnarray*} 5\int\sin\left(\frac{4}{5}x\right) \mathrm dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u = \frac{4}{5}x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm du}{\mathrm dx} = \frac{4}{5} \Leftrightarrow \mathrm dx = \frac{5}{4}\mathrm du \end{eqnarray*}$

ersetzten:

$\begin{eqnarray*} 5\int\sin u \cdot \frac{5}{4} \mathrm du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{4} \end{eqnarray*}$ ziehen wir auch noch aus dem Integral:

$\begin{eqnarray*} =\frac{25}{4}\int\sin u~\mathrm du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{25}{4}(-\cos u) + C \end{eqnarray*}$

resubstituieren:

$\begin{eqnarray*} = -\frac{25}{4}\cos\left(\frac{4}{5}x\right) + C \end{eqnarray*}$

Das ist eine Stammfunktion

24.01.2005, 21:06

beachboy

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ahja hmm muss man das so machen, oder kann man auch am Ende, einfach das Ergebnis des Integrals mit 5 multiplizieren ??? das müsste doch auch gehen ???

was hast du denn raus als fläche ??

lg
beach

24.01.2005, 21:07

iammrvip

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ist das Intervall $\begin{eqnarray*} [0;\pi] \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

24.01.2005, 21:16

beachboy

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also ich soll die Fläche von 0 bis p/2 machen:

p errechne ich mir so:

$\begin{eqnarray*} p=\frac{2\pi }{0,8} =7,853 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{p}{2} =~4 \end{eqnarray*}$

d.h die Fläche muss zw. 0;4 berechnet werden = ~12,5 bei mir ???

lg

beach

24.01.2005, 21:18

iammrvip

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$\begin{eqnarray*} \approx 12.5 \end{eqnarray*}$ stimmt Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

24.01.2005, 21:21

beachboy

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puh dann bin ich beruhigt ^^ danke für die Hilfe Augenzwinkern

Augenzwinkern

deinen Substitutionsweg kann man sich ja dann ersparen oder? smile

smile

lg
beach

24.01.2005, 21:23

iammrvip

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naja, wenn du die Stammfunktion schon so siehst Big Laugh

Big Laugh

dann schon. oder die nutzt Calvins Variante von Seite 1.

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